Fonctions exponentielles 2BAC SM

Étape 1 — Changement de variable et résolution de $f(x)=0$

On pose $X=e^x$. Puisque la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, on a $X>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

On réécrit :

$$f(x)=(e^x{)}^2-(k+1)e^x+k=X^2-(k+1)X+k$$

L'équation $f(x)=0$ est donc équivalente à $X^2-(k+1)X+k=0$ avec $X>0$.

On calcule le discriminant : $\Delta =(k+1{)}^2-4k=k^2+2k+1-4k=k^2-2k+1=(k-1{)}^2\ge 0$.

Les racines sont :

$$X_1=\frac{(k+1)-|k-1|}{2},X_2=\frac{(k+1)+|k-1|}{2}$$

Pour $k\ge 1$ : $X_1=\frac{(k+1)-(k-1)}{2}=1$ et $X_2=\frac{(k+1)+(k-1)}{2}=k$.

On a donc $X_1=1>0$ et $X_2=k$. Pour que $X_2>0$, il faut $k>0$.

En revenant à $x$ : $e^x=1\Rightarrow x=0$ et $e^x=k\Rightarrow x=\ln k$ (valide si $k>0$).

Conclusion : Pour $k>1$, les solutions de $f(x)=0$ sont $x=0$ et $x=\ln k$.

Étape 2 — Signe de $f(x)$ pour $k=3$

Pour $k=3$, on a $f(x)=e^{2x}-4e^x+3$.

D'après l'étape 1, les zéros de $f$ sont $x=0$ (correspondant à $X=1$) et $x=\ln 3$ (correspondant à $X=3$).

Avec le changement de variable $X=e^x>0$, on factorise :

$$X^2-4X+3=(X-1)(X-3)$$

Donc $f(x)=(e^x-1)(e^x-3)$.

Tableau de signes :

• Pour $x<0$ : $e^x<1$ donc $(e^x-1)<0$ et $e^x<3$ donc $(e^x-3)<0$ : produit $>0$.
• Pour $0<x<\ln 3$ : $(e^x-1)>0$ et $(e^x-3)<0$ : produit $<0$.
• Pour $x>\ln 3$ : $(e^x-1)>0$ et $(e^x-3)>0$ : produit $>0$.

Conclusion : $f(x)>0$ sur $]-\infty ,0[\cup ]\ln 3,+\infty [$, $f(x)=0$ en $x=0$ et $x=\ln 3$, et $f(x)<0$ sur $]0,\ln 3[$.

Étape 3 — Résolution de $e^{2x}-4e^x+3\ge 0$

D'après l'étude du signe menée à l'étape 2, on sait que $f(x)=e^{2x}-4e^x+3\ge 0$ si et seulement si $x\in ]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [$.

Ensemble solution : $S=]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [$.

Étape 4 — Résolution de $e^{2x+1}-4e^{x+1}+3e\ge 0$

On factorise l'expression par $e$ (qui est strictement positif) :

$$e^{2x+1}-4e^{x+1}+3e=e\cdot e^{2x}-4e\cdot e^x+3e=e\left(e^{2x}-4e^x+3\right)$$

Puisque $e>0$, l'inéquation $e^{2x+1}-4e^{x+1}+3e\ge 0$ est équivalente à :

$$e^{2x}-4e^x+3\ge 0$$

ce qui est exactement l'inéquation résolue à l'étape 3.

Ensemble solution : $S=]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [$.

Étape 5 — Vérification par réécriture exponentielle directe (méthode alternative)

On reprend l'inéquation de la question 3 sous une autre forme pour confirmer. On a :

$$e^{2x}-4e^x+3\ge 0⟺(e^x-1)(e^x-3)\ge 0$$

Le facteur $(e^x-1)\ge 0⟺e^x\ge e^0⟺x\ge 0$.

Pour le facteur $(e^x-3)\ge 0$, on écrit $e^x\ge 3=e^{\ln 3}$.

Or, pour résoudre $e^x\ge e^{\ln 3}$, il faut distinguer selon le signe de $\ln 3$ : comme $\ln 3>0$, la base $e$ est "supérieure à 1", donc la fonction est croissante et l'inégalité se conserve, ce qui donne $x\ge \ln 3$. En revanche, si $\ln 3$ avait été négatif, la base aurait été "inférieure à 1" et il aurait fallu inverser le sens, donnant $x\le \ln 3$.

On conclut donc : $(e^x-3)\ge 0⟺x\ge \ln 3$.

Le produit $(e^x-1)(e^x-3)\ge 0$ lorsque les deux facteurs sont de même signe, ce qui donne bien $x\le 0$ ou $x\ge \ln 3$.

Étape 6 — Conclusion générale

Les deux méthodes (tableau de signes à l'étape 2 et réécriture exponentielle à l'étape 5) donnent le même ensemble solution, ce qui confirme :

$$\boxed{S=]-\infty ,0]\cup [\ln 3,+\infty [}$$

pour les inéquations des questions 3 et 4.