Généralités sur les fonctions TC

Étape 1 — Domaine de définition de $f$

La fonction $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ est définie pour tout $x$ tel que le dénominateur $x^2-3x+2\ne 0$.

On factorise : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Le dénominateur s'annule en $x=1$ et $x=2$.

Donc : $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$$

Étape 2 — Domaine de définition de $g$

La fonction $g(x)=\frac{1}{x+1}$ est définie pour tout $x$ tel que $x+1\ne 0$, c'est-à-dire $x\ne -1$.

Donc : $$D_g=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$$

Étape 3 — Domaine de définition de $f+g$ (étape contenant l'erreur)

Le domaine de définition de $f+g$ est :

$$D_{f+g}=D_f\cap D_g=\left(\mathbb{R}\setminus \{1,2\}\right)\cap \left(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\right)=\mathbb{R}\setminus \{-1,1,2\}$$

On calcule maintenant $(f+g)(x)$ :

$$(f+g)(x)=\frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{x+1}$$

On remarque que $x^2-1=(x-1)(x+1)$, donc :

$$\frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}(\text{pour }x\ne 1)$$

Ainsi :

$$(f+g)(x)=\frac{x+1}{x-2}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+(x-2)}{(x-2)(x+1)}$$

$$=\frac{x^2+2x+1+x-2}{(x-2)(x+1)}=\frac{x^2+3x-1}{(x-2)(x+1)}$$

On conclut que $D_{f+g}=\mathbb{R}\setminus \{-1,1,2\}$ et que sur ce domaine :

$$(f+g)(x)=\frac{x^2+3x-1}{(x-2)(x+1)}$$

Étape 4 — Parité de $f+g$

On dispose de $(f+g)(x)=\frac{x^2+3x-1}{(x-2)(x+1)}$ sur $D_{f+g}=\mathbb{R}\setminus \{-1,1,2\}$.

Symétrie du domaine : On vérifie si $D_{f+g}$ est symétrique par rapport à $0$. Les valeurs exclues sont $-1,1,2$. Or $-2\notin \{-1,1,2\}$ mais $2$ est exclu sans que $-2$ le soit, donc $D_{f+g}$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ (l'exclusion de $2$ n'est pas compensée par une exclusion de $-2$).

Par conséquent, la fonction $f+g$ n'est ni paire ni impaire (condition nécessaire non satisfaite : le domaine n'est pas symétrique par rapport à l'origine).