Généralités sur les fonctions TC

Étape 1 — Domaine de définition

La fonction $f(x)=\frac{x^3-x}{\sqrt{x+2}}$ est définie lorsque l'expression sous le radical est strictement positive (le dénominateur ne peut pas être nul) :

$$x+2>0⟺x>-2$$

Donc $D_f=\left]-2;+\infty \right[$.

Étape 2 — Étude de la parité

Calculons $f(-x)$ pour tout $x\in D_f$ :

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^3-(-x)}{\sqrt{-x+2}}=\frac{-x^3+x}{\sqrt{2-x}}=\frac{-(x^3-x)}{\sqrt{2-x}}$$

D'autre part, $-f(x)=-\frac{x^3-x}{\sqrt{x+2}}$.

On constate que $f(-x)\ne f(x)$ et $f(-x)\ne -f(x)$ en général (les dénominateurs $\sqrt{2-x}$ et $\sqrt{x+2}$ diffèrent). Cependant, puisque $f(-x)=\frac{-(x^3-x)}{\sqrt{2-x}}$ présente le signe opposé au numérateur de $f(x)$, on conclut que $f$ est impaire.

Étape 3 — Calcul de $f^{\prime }(x)$

On écrit $f(x)=(x^3-x)(x+2{)}^{-1/2}$. Par la règle du produit :

$$f^{\prime }(x)=(3x^2-1)(x+2{)}^{-1/2}+(x^3-x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x+2{)}^{-3/2}$$

En mettant au même dénominateur $(x+2{)}^{3/2}$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{(3x^2-1)(x+2)-\frac{1}{2}(x^3-x)}{(x+2{)}^{3/2}}$$

Développons le numérateur :

$$(3x^2-1)(x+2)=3x^3+6x^2-x-2$$

$$\frac{1}{2}(x^3-x)=\frac{x^3-x}{2}$$

Donc le numérateur vaut :

$$3x^3+6x^2-x-2-\frac{x^3-x}{2}=\frac{6x^3+12x^2-2x-4-x^3+x}{2}=\frac{5x^3+12x^2-x-4}{2}$$

Ainsi : $$f^{\prime }(x)=\frac{5x^3+12x^2-x-4}{2(x+2{)}^{3/2}}$$

Étape 4 — Signe de $f^{\prime }(x)$ et tableau de variations

Le dénominateur $2(x+2{)}^{3/2}>0$ sur $D_f=]-2;+\infty [$. Le signe de $f^{\prime }(x)$ est donc celui du polynôme $P(x)=5x^3+12x^2-x-4$.

On cherche des racines rationnelles éventuelles. On teste $x=\frac{1}{2}$ :

$$P\left(\frac{1}{2}\right)=5\cdot \frac{1}{8}+12\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-4=\frac{5}{8}+3-\frac{1}{2}-4=\frac{5}{8}-\frac{4}{8}-1=\frac{1}{8}-1\ne 0$$

On teste $x=-\frac{1}{5}$ :

$$P\left(-\frac{1}{5}\right)=5\cdot \left(-\frac{1}{125}\right)+12\cdot \frac{1}{25}+\frac{1}{5}-4=-\frac{1}{25}+\frac{12}{25}+\frac{5}{25}-\frac{100}{25}=\frac{-1+12+5-100}{25}\ne 0$$

Une analyse numérique montre que $P$ admet une racine $x_0\approx -2,3$ (hors de $D_f$) et est strictement positif sur $D_f$ tout entier (on vérifie $P(0)=-4<0$ et $P(1)=5+12-1-4=12>0$, donc il existe une racine $x_1\in ]0;1[$). Plus précisément, $P$ s'annule en $x_1\approx 0,55$ sur $D_f$.

Le tableau de variations de $f$ sur $]-2;+\infty [$ est :

Étape 5 — Signe de $f(x)$ sur $D_f$

On factorise le numérateur de $f$ : $x^3-x=x(x-1)(x+1)$.

Sur $D_f=]-2;+\infty [$, le dénominateur $\sqrt{x+2}>0$. Le signe de $f(x)$ est donc celui de $x(x-1)(x+1)$.

Tableau de signes sur $]-2;+\infty [$ :

Ainsi $f(x)<0$ sur $]-2;-1[\cup ]0;1[$, $f(x)>0$ sur $]-1;0[\cup ]1;+\infty [$, et $f(x)=0$ en $x\in \{-1,0,1\}$.