Généralités sur les fonctions TC

Étape 1 – Réécriture de $f(x)$.

Pour tout $x\in [1,+\infty [$, on a $x\ne 0$, donc on peut mettre au même dénominateur :

L'écriture est bien vérifiée. $\square$

Étape 2 – Étude de la monotonie (étape contenant l'erreur).

Soient $x_1,x_2\in [1,+\infty [$ avec $x_1<x_2$. On forme la différence :

Après réduction au même dénominateur $x_1{x}_2>0$ :

Développons le numérateur :

Donc :

Pour conclure sur le signe, on étudie le signe de $f(x_2)-f(x_1)$, c'est-à-dire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle. Puisque $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$ et que $x\ge 1>0$, on a $x^2+4>0$, donc $f(x)>0$ sur $[1,+\infty [$. Ainsi $f(x_2)-f(x_1)>0$, ce qui prouve que $f$ est croissante sur $[1,+\infty [$.

Étape 3 – Tableau de variations.

En admettant la conclusion de l'étape 2 ($f$ croissante sur $[1,+\infty [$), on calcule les valeurs aux bornes :

• $f(1)=1+\frac{4}{1}=5$.
• Quand $x\to +\infty$ : $f(x)=x+\frac{4}{x}\to +\infty$.

Tableau de variations :

Étape 4 – L'équation $f(x)=3$ n'a pas de solution dans $[1,+\infty [$.

D'après le tableau de variations (basé sur la conclusion de l'étape 2), $f$ est croissante sur $[1,+\infty [$ et $f(1)=5$. Donc pour tout $x\in [1,+\infty [$, on a $f(x)\ge 5>3$. L'équation $f(x)=3$ n'admet donc aucune solution dans $[1,+\infty [$. $\square$

(Remarque : cette conclusion est correcte, mais elle repose sur un tableau de variations faux — voir étape 2.)

Étape 5 – Résolution de $f(x)\le 5$ dans $[1,+\infty [$.

On résout $x+\frac{4}{x}\le 5$, soit $\frac{x^2-5x+4}{x}\le 0$, c'est-à-dire $\frac{(x-1)(x-4)}{x}\le 0$.

Sur $[1,+\infty [$, $x>0$, donc le signe de $\frac{(x-1)(x-4)}{x}$ est celui de $(x-1)(x-4)$.

• $(x-1)(x-4)\le 0⟺x\in [1,4]$.

En tenant compte du domaine $[1,+\infty [$, la solution est $x\in [1,4]$.

D'après le tableau de variations (croissance supposée), $f(x)\le 5=f(1)$ impliquerait $x\le 1$, soit uniquement $x=1$. Mais le calcul algébrique direct donne $[1,4]$, ce qui contredit la croissance affirmée à l'étape 2 — signe que la conclusion de l'étape 2 est erronée.