Généralités sur les fonctions TC

Étape 1 — Calcul de $f^{\prime }(x)$ et tableau de variations.

La fonction $f(x)=x^3-3x^2+1$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[-1;3]$.

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

Étude du signe de $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ :

• $f^{\prime }(x)>0$ si $x<0$ ou $x>2$,
• $f^{\prime }(x)=0$ si $x=0$ ou $x=2$,
• $f^{\prime }(x)<0$ si $0<x<2$.

Tableau de variations sur $[-1;3]$ :

Ainsi $f$ est croissante sur $[-1;0]$, décroissante sur $[0;2]$, puis croissante sur $[2;3]$.

Étape 2 — Calcul des valeurs remarquables.

On calcule $f$ aux points critiques intérieurs et aux bornes :

$$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+1=-1-3+1=-3,$$

$$f(0)=0-0+1=1,$$

$$f(2)=8-12+1=-3,$$

$$f(3)=27-27+1=1.$$

On dispose donc des quatre valeurs candidates : $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(3)=1$.

Étape 3 — Détermination du maximum et du minimum sur $[-1;3]$.

D'après le tableau de variations, $f$ admet un maximum local en $x=0$ avec $f(0)=1$, et un minimum local en $x=2$ avec $f(2)=-3$.

Puisque $x=0$ est le seul point intérieur où $f$ passe d'une croissance à une décroissance, c'est là que $f$ atteint son plus grand valeur sur $[-1;3]$.

On conclut donc :

• Maximum de $f$ sur $[-1;3]$ : $f(0)=1$, atteint en $x=0$.
• Minimum de $f$ sur $[-1;3]$ : $f(2)=-3$, atteint en $x=2$.

Étape 4 — Image de $[-1;3]$ par $f$.

Puisque $f$ est continue sur le segment $[-1;3]$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit que $f([-1;3])$ est un segment.

D'après l'étape 3, le minimum global est $-3$ (atteint en $x=2$) et le maximum global est $1$ (atteint en $x=0$).

On conclut :

$$f([-1;3])=[-3;1].$$