Géométrie analytique TC

Étape 1 — Équation de la droite $(AB)$

Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(2,-1)$ et $B(2,4)$. On observe que leurs abscisses sont égales : $x_A=x_B=2$.

Deux points distincts ayant la même abscisse définissent une droite verticale. L'équation de $(AB)$ est donc :

Cette droite n'admet pas de coefficient directeur (la pente est « infinie »).

Étape 2 — Recherche de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$

On cherche la droite $(d)$ passant par $C(5,1)$ et perpendiculaire à $(AB):x=2$.

Puisque $(AB)$ est verticale, on utilise la condition de perpendicularité entre coefficients directeurs. Notons $m$ le coefficient directeur de $(AB)$ ; formellement $m_{AB}\to +\infty$. La relation de perpendicularité donne :

On en déduit $m_d=0$, donc $(d)$ est une droite de pente nulle, c'est-à-dire une droite horizontale. Son équation est de la forme $y=b$.

Comme $(d)$ passe par $C(5,1)$, on obtient $b=1$, soit :

Étape 3 — Coordonnées du point $H$

$H$ est l'intersection de $(AB):x=2$ et de $(d):y=1$.

On résout le système :

On obtient directement $H(2,1)$.

Étape 4 — Calcul de la distance $CH$

On dispose de $C(5,1)$ et $H(2,1)$.

La distance de $C$ à la droite $(AB)$ est donc $CH=3$.