Géométrie dans l'espace 1BAC SM

Étape 1 – Coordonnées des points dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

On place le cube d'arête 1. Les coordonnées sont :

• $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$
• $E=(0,0,1)$, $F=(1,0,1)$, $G=(1,1,1)$, $H=(0,1,1)$

Les points définis :

• $I$ milieu de $[BF]$ : $I=\left(\frac{1+1}{2},\frac{0+0}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$
• $J$ milieu de $[DH]$ : $J=\left(\frac{0+0}{2},\frac{1+1}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$
• $K$ milieu de $[EF]$ : $K=\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+0}{2},\frac{1+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$

Étape 2 – Vecteurs directeurs et parallélisme.

Un vecteur directeur de ${\Delta }_1=(IJ)$ :

Un vecteur directeur de ${\Delta }_2=(AK)$ :

Pour que ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$, il faudrait $\vec{u}=\lambda \vec{v}$ pour un réel $\lambda$. Or $\vec{u}=(-1,1,0)$ et $\vec{v}=(\frac{1}{2},0,1)$ : la troisième composante de $\vec{u}$ est $0$ alors que celle de $\vec{v}$ est $1\ne 0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Les droites ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$ ne sont pas parallèles.

Étape 3 – Recherche d'un point d'intersection (système).

Un point courant de ${\Delta }_1$ s'écrit, pour $t\in \mathbb{R}$ :

Un point courant de ${\Delta }_2$ s'écrit, pour $s\in \mathbb{R}$ :

Pour qu'il y ait intersection, il faut $M_1(t)=M_2(s)$, soit le système :

De la deuxième équation : $t=0$. De la troisième : $s=\frac{1}{2}$. On vérifie la première : $1-0=1$ et $\frac{s}{2}=\frac{1}{4}$. On a $1\ne \frac{1}{4}$.

Le système est incompatible : les droites ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$ ne se coupent pas.

Étape 4 – Conclusion sur la position relative.

On a établi que :

• ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$ ne sont pas parallèles (leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires).
• ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$ ne sont pas sécantes (le système d'intersection est incompatible).

Puisque les droites ne sont ni parallèles ni sécantes, on peut affirmer qu'elles sont coplanaires mais sans point commun, ce qui est impossible pour des droites non parallèles dans un même plan. En fait, deux droites non parallèles et non sécantes sont nécessairement coplanaires, et dans un plan deux droites coplanaires non parallèles se coupent forcément.

On conclut donc que ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$ sont coplanaires et sécantes — la contradiction avec le calcul précédent devant provenir d'une erreur de calcul.

Étape 5 – Vérification par le vecteur $\overrightarrow{IA}$ et le produit mixte (suite de l'étape 4 fausse).

En suivant le raisonnement de l'étape 4, on cherche le plan contenant ${\Delta }_1$ et ${\Delta }_2$. On prend le vecteur $\overrightarrow{AI}=(1,0,\frac{1}{2})$ et on calcule le produit mixte $[\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{AI}]$ pour vérifier la coplanarité :

Développement selon la première ligne :

Le produit mixte vaut $\frac{3}{4}\ne 0$, ce qui confirme (contrairement à la conclusion de l'étape 4) que les droites ne sont pas coplanaires. Mais en suivant le raisonnement erroné de l'étape 4, on conclut qu'il doit y avoir une erreur de calcul et que les droites sont sécantes.