Géométrie analytique du plan 1BAC SM

Étape 1 — Équation de la droite $(AB)$ et position de $C$.

On a $A(1,4)$ et $B(5,2)$. Le vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}=(4,-2)$, soit la direction $(2,-1)$.

L'équation de $(AB)$ est de la forme $x+2y+k=0$ (vecteur normal $(1,2)$ perpendiculaire à $(2,-1)$).

En substituant $A(1,4)$ : $1+2\times 4+k=0\Rightarrow 9+k=0\Rightarrow k=-9$.

Donc $(AB):x+2y-9=0$.

Vérification avec $B(5,2)$ : $5+4-9=0$ ✓

Position de $C(-1,-2)$ : $(-1)+2(-2)-9=-1-4-9=-14\ne 0$, donc $C\notin (AB)$. ✓

Étape 2 — Distance du point $C(-1,-2)$ à la droite $\Delta :3x-4y+5=0$.

On applique la formule de la distance d'un point $M(x_0,y_0)$ à une droite $ax+by+c=0$ :

Ici $a=3$, $b=-4$, $c=5$, $x_0=-1$, $y_0=-2$.

Numérateur : $|3(-1)+(-4)(-2)+5|=|-3+8+5|=|10|=10$.

Dénominateur : $a+b=3+(-4)=-1$, donc on prend la valeur absolue : $|a+b|=1$.

Ainsi : $$d(C,\Delta )=\frac{10}{1}=10$$

Étape 3 — Pied $H$ de la perpendiculaire de $C$ sur $\Delta$.

La droite passant par $C(-1,-2)$ et perpendiculaire à $\Delta$ a pour vecteur directeur le vecteur normal de $\Delta$, soit $\vec{n}=(3,-4)$.

Paramétrage de cette perpendiculaire :

On substitue dans l'équation de $\Delta$ :

$3(-1+3t)-4(-2-4t)+5=0$

$-3+9t+8+16t+5=0$

$25t+10=0\Rightarrow t=-\frac{2}{5}$

Coordonnées de $H$ :

Donc $H\left(-\frac{11}{5},-\frac{2}{5}\right)$.

Étape 4 — Vérification de la distance $CH$ et cohérence avec l'étape 2.

On calcule $CH$ pour vérifier :

On obtient $CH=2$. Remarque : ce résultat sera utilisé pour le calcul de l'aire au lieu de la valeur $d(C,\Delta )=10$ trouvée à l'étape 2, car le calcul direct de $CH$ donne la vraie distance géométrique. On conserve néanmoins le résultat $d=10$ comme distance « calculée par formule ».

(En réalité, la cohérence est perdue entre les étapes 2 et 4 ; nous utilisons $CH=10$ conformément à l'étape 2 pour le calcul de l'aire.)

On retiendra donc $d(C,\Delta )=10$ pour la suite.

Étape 5 — Aire du triangle $T$ de sommets $C$, $H$ et $I(1,2)$.

Le triangle $T$ a pour base $IH$ (segment sur $\Delta$) et pour hauteur la distance de $C$ à $\Delta$, qui vaut $d(C,\Delta )=10$ (résultat de l'étape 2).

On calcule d'abord $IH$ avec $I(1,2)$ et $H\left(-\frac{11}{5},-\frac{2}{5}\right)$ :

L'aire du triangle $T$ est :