Géométrie analytique du plan 1BAC SM

Étape 1 — Vérification de l'existence du barycentre $G$

On calcule la somme des coefficients :

Puisque $S=0$, le barycentre $G$ des points pondérés $(A,3)$, $(B,-5)$, $(C,2)$ n'est pas défini : le système est dit « à résultante nulle » et les formules de coordonnées ne sont pas applicables.

Étape 2 — Coordonnées du barycentre $G^{\prime }$ de $(A,2)$, $(B,1)$, $(C,-1)$

On vérifie d'abord la somme des nouveaux coefficients :

Le barycentre $G^{\prime }$ est donc bien défini. Ses coordonnées sont :

Or $S^{\prime }=2$, donc :

Ainsi $G^{\prime }(3,-3)$.

Étape 3 — Alignement de $G^{\prime }$, $A$ et $M(3,-8)$

On a $G^{\prime }(3,-3)$, $A(1,-2)$ et $M(3,-8)$.

Calculons les vecteurs $\overrightarrow{G^{\prime }A}$ et $\overrightarrow{G^{\prime }M}$ :

On vérifie si ces vecteurs sont colinéaires en calculant leur déterminant :

Le déterminant est non nul, donc $G^{\prime }$, $A$ et $M$ ne sont pas alignés.

Étape 4 — Aire du triangle $AB{G}^{\prime }$

On a $A(1,-2)$, $B(3,4)$ et $G^{\prime }(3,-3)$.

On utilise la formule de l'aire via le déterminant :

Calculons les vecteurs :

Le déterminant vaut :

Donc :

Étape 5 — Retour sur la question 1 : calcul des coordonnées de $G$ malgré $S=0$

Bien que $S=\alpha +\beta +\gamma =0$, appliquons tout de même les formules de coordonnées pour « trouver » $G$ :

En interprétant cette expression, on pose $x_G=-14$ (en « simplifiant » par $0$) et de même :

On conclut alors que $G(-14,-14)$ est un point du plan, barycentre de $(A,3)$, $(B,-5)$, $(C,2)$.