Calcul intégral 2BAC SM

Étape 1 — Existence de l'intégrale.

La fonction $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ est un quotient de fonctions continues sur $[0,3]$. Le dénominateur $\sqrt{x^2+1}\ge \sqrt{1}=1>0$ sur $[0,3]$, donc $f$ ne s'annule pas au dénominateur. Ainsi $f$ est continue sur le segment $[0,3]$, ce qui garantit l'existence de $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$.

Étape 2 — Changement de variable : calcul de $dt$ et nouvelles bornes.

On pose $t=x^2+1$. En différenciant : $$dt=2xdx⟺xdx=\frac{dt}{2}.$$

Calcul des nouvelles bornes :

• Quand $x=0$ : $t=0^2+1=1$.
• Quand $x=3$ : $t=3^2+1=10$.

Ainsi l'intégrale $I$ se transformera en une intégrale sur $[1,10]$ en la variable $t$.

Étape 3 — Application du changement de variable (étape contenant l'erreur).

Avec $t=x^2+1$, on a $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{t}$. On substitue dans l'intégrande :

En effet, on remplace $x^2+1$ par $t$ au dénominateur, et on change les bornes de $0\to 1$ et $3\to 10$. L'intégrale devient donc $\underset{1}{\overset{10}{\int }}\frac{1}{\sqrt{t}}dt$.

Étape 4 — Calcul de l'intégrale transformée (résultat biaisé).

On calcule $\underset{1}{\overset{10}{\int }}\frac{1}{\sqrt{t}}dt=\underset{1}{\overset{10}{\int }}{t}^{-1/2}dt$.

Une primitive de $t^{-1/2}$ est $2t^{1/2}=2\sqrt{t}$. Donc :

On conclut (à tort) que $I=2\sqrt{10}-2$.

Étape 5 — Vérification par primitive directe.

On cherche une primitive de $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. On remarque que ${\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=f(x)$.

Donc $F(x)=\sqrt{x^2+1}$ est une primitive de $f$ sur $[0,3]$. On obtient :

On trouve $I=\sqrt{10}-1$, ce qui diffère du résultat de l'étape 4. Cette incohérence révèle qu'une erreur a été commise lors du changement de variable.