Calcul intégral 2BAC SM

Calcul de $F(x)$.

On cherche une primitive de $f(x)=x^2-2x+3$. Par intégration terme à terme :

La condition $F(0)=1$ donne $C=1$. Donc :

Calcul de $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ par la relation de Chasles.

La relation de Chasles donne, pour tout réel $a,b$ :

Donc $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt$.

On calcule $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt=F(3)-F(1)$.

$F(3)=\frac{27}{3}-9+9+1=9-9+9+1=10$.

$F(1)=\frac{1}{3}-1+3+1=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$.

Donc $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3}$.

Et $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=-\frac{20}{3}$.

Encadrement de $f$ sur $[1,3]$ et encadrement de $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt$.

On étudie les variations de $f$ sur $[1,3]$. On a $f^{\prime }(x)=2x-2=2(x-1)$.

Sur $[1,3]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, donc $f$ est croissante sur $[1,3]$.

Ainsi : $f(1)\le f(x)\le f(3)$ pour tout $x\in [1,3]$.

$f(1)=1-2+3=2$ et $f(3)=9-6+3=6$.

Donc $2\le f(x)\le 6$ pour tout $x\in [1,3]$.

Par la propriété de minoration-majoration (avec $a=1<b=3$) :

La valeur exacte $\frac{20}{3}\approx 6,67$ est bien dans $[4,12]$ : l'encadrement est cohérent.

Encadrement de $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ par la propriété de minoration-majoration.

On sait que $2\le f(x)\le 6$ pour tout $x\in [1,3]$, donc en particulier pour tout $x$ entre $3$ et $1$.

On applique directement la propriété de minoration-majoration à $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ avec $a=3$, $b=1$ et $b-a=1-3=-2$ :

On conclut donc que $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt\in [-4,-12]$, ce qui semble cohérent car la valeur exacte $-\frac{20}{3}\approx -6,67$ appartient bien à l'intervalle $[-4,-12]$... en apparence.

Conclusion.

En résumé :

• $F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+3x+1$.
• $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt=\frac{20}{3}$ et $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=-\frac{20}{3}$.
• Encadrement de $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt$ : $4\le \frac{20}{3}\le 12$ ✓
• Encadrement (erroné) de $\underset{3}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ : $-4\le -\frac{20}{3}\le -12$, ce qui est présenté comme valide.