Calcul intégral 2BAC SM

Étape 1 — Convergence simple de $(f_n)$ sur $[0,1]$.

Pour $x=0$ : $f_n(0)=0$ pour tout $n$, donc $f_n(0)\to 0$.

Pour $x\in ]0,1]$ : on écrit $$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}=\frac{1}{\frac{1}{nx}+nx}.$$Quand $n\to +\infty$, $nx\to +\infty$, donc $\frac{1}{nx}\to 0$ et $nx\to +\infty$, si bien que $\frac{1}{nx}+nx\to +\infty$, et donc $f_n(x)\to 0$.

Ainsi, pour tout $x\in [0,1]$, $f_n(x)\to 0$. La limite simple est $f(x)=0$.

Étape 2 — Calcul explicite de $I_n$.

On calcule $$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{nx}{1+n^2{x}^2}dx.$$On effectue le changement de variable $u=1+n^2{x}^2$, d'où $du=2n^{2}xdx$, soit $nxdx=\frac{du}{2n}$.

Quand $x=0$, $u=1$ ; quand $x=1$, $u=1+n^2$. Donc $$I_n=\underset{1}{\overset{1+n^2}{\int }}\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2n}\cdot n=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{1+n^2}{\int }}\frac{du}{u}=\frac{1}{2}[\ln u{]}_1^{1+n^2}=\frac{\ln (1+n^2)}{2}.$$

Ainsi, pour tout $n\ge 1$ : $$\boxed{I_n=\frac{\ln (1+n^2)}{2}.}$$

Étape 3 — Limite de $I_n$ par le théorème de la valeur moyenne (étape contenant l'erreur).

Puisque $f_n$ est continue sur $[0,1]$, le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales garantit l'existence d'un point $c_n\in ]0,1[$ tel que $$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)dx=(1-0)\cdot f_n(c_n)=f_n(c_n).$$Or, d'après l'étape 1, pour tout $c\in ]0,1[$, $f_n(c)\to f(c)=0$ quand $n\to +\infty$. En particulier, comme $c_n\in ]0,1[$, on a $f_n(c_n)\to 0$, et donc $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0.$$

Étape 4 — Comparaison avec $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

On a $f(x)=0$ pour tout $x\in [0,1]$, donc $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}0dx=0.$$D'après le résultat de l'étape 3, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

On conclut que la limite et l'intégrale coïncident, ce qui — d'après l'argument de l'étape 3 — serait compatible avec une convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$ sur $[0,1]$.

Étape 5 — Conclusion.

En résumé :

• $(f_n)$ converge simplement vers $f=0$ sur $[0,1]$.
• $I_n=\frac{\ln (1+n^2)}{2}$, et d'après l'étape 3 : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.
• $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=0$ : l'interversion limite–intégrale est valide.
• On en déduit que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ est uniforme sur $[0,1]$.