Limites & continuité 1BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition de $f$

La fonction $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ est une fraction rationnelle. Elle est définie pour tout réel $x$ tel que le dénominateur est non nul, c'est-à-dire $x-1\ne 0$, soit $x\ne 1$.

Donc :

Étape 2 — Calcul de $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$

En $x=1$, on obtient la forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On factorise le numérateur :

Donc, pour tout $x\ne 1$ :

On peut maintenant calculer la limite :

Étape 3 — Continuité de $f$ en $x=1$

On vient de montrer que $f(x)=x+1$ après simplification. Puisque $x+1$ est une fonction polynomiale, elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier en $x=1$ on a $f(1)=1+1=2$.

La limite vaut $2$ et $f(1)=2$, donc $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=2$.

Conclusion : $f$ est continue en $x=1$.

Étape 4 — Définition de $g$ et valeur de $\ell$

Puisque $f$ est déjà continue en $x=1$ (d'après l'étape précédente), la fonction $g$ coïncide avec $f$ et la valeur $\ell$ n'a aucune contrainte particulière ; on peut choisir $\ell$ quelconque.

En particulier, pour $\ell =2$, on aurait $g(1)=2=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$, mais cela ne constitue pas un prolongement par continuité puisque $f$ est déjà continue en ce point.

Conclusion : $\ell =2$ convient, et il ne s'agit que d'une simple redéfinition sans nécessité de prolongement.