Limites & continuité 1BAC SM

Étape 1 — Limite à gauche en $x=1$ et continuité à droite.

Pour $x<1$, on a $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x-2}$. Factorisons le numérateur :

Donc, pour $x\ne 2$ (et en particulier au voisinage de $1$) :

Ainsi :

D'autre part, $f(1)=3(1)-2=1$. On vérifie la continuité à droite en $1$ :

Donc $f$ est continue à droite en $x=1$. On note cependant que $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2\ne 1=f(1)$, donc $f$ n'est pas continue en $x=1$ (discontinuité à gauche).

Étape 2 — Limites en $x=3$ et continuité à gauche.

Pour $1\le x\le 3$ : $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=3(3)-2=7$, et $f(3)=3(3)-2=7$.

Pour $x>3$, on a $f(x)=\frac{2x^2-5x-3}{x-3}$. Factorisons le numérateur :

Donc, pour $x\ne 3$ :

Ainsi :

On a $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=7=f(3)$, donc $f$ est continue en $x=3$.

Étape 3 — Conclusion sur la continuité de $f$ sur $[1,3]$.

Nous avons établi :

• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=1$ : $f$ est continue à droite en $x=1$ (borne gauche de l'intervalle).
• $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=f(3)=7$ : $f$ est continue à gauche en $x=3$ (borne droite de l'intervalle).

Ces deux conditions aux bornes étant vérifiées, on conclut que $f$ est continue sur $[1,3]$.

Étape 4 — Application du théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

Puisque $f$ est supposée continue sur $[1,3]$ (d'après l'étape 3), calculons les valeurs aux bornes :

On cherche à montrer que $f(x)=4$ admet une solution dans $[1,3]$.

On a $f(1)=1<4<7=f(3)$, donc $4$ est une valeur intermédiaire entre $f(1)$ et $f(3)$.

Par le TVI, il existe au moins un réel $c\in [1,3]$ tel que $f(c)=4$.

On peut préciser : sur $[1,3]$, la branche active est $f(x)=3x-2$, donc $3c-2=4\Rightarrow c=2\in [1,3]$. ✓