Limites & continuité 1BAC SM

Étape 1 — Simplification de $f$ sur $]-\infty ,1[$

Pour $x<1$, on a $x\ne 1$, donc on peut factoriser le numérateur :

Ainsi, pour $x<1$ :

La restriction de $f$ à $]-\infty ,1[$ est donc la fonction affine $x\mapsto x-2$. Sa courbe représentative est une droite (segment de droite) de pente $1$ et d'ordonnée à l'origine $-2$.

Étape 2 — Limites en $x=1$ et discontinuité

D'après l'étape 1, pour $x<1$ on a $f(x)=x-2$, donc :

Pour $x>1$, $f(x)=x^2-2x+3$, donc :

Les deux limites latérales existent mais sont différentes : $-1\ne 2$. De plus, $f$ n'est pas définie en $x=1$. La fonction $f$ présente donc une discontinuité de saut en $x=1$ : elle ne peut pas être prolongée par continuité en ce point.

Étape 3 — Continuité sur chaque branche

Sur $]-\infty ,1[$, $f(x)=x-2$ est une fonction affine, donc continue sur tout $]-\infty ,1[$.

Sur $]1,+\infty [$, $f(x)=x^2-2x+3$ est un polynôme du second degré, donc continu sur tout $]1,+\infty [$.

En conclusion, $f$ est continue sur $]-\infty ,1[$ et sur $]1,+\infty [$, mais elle est discontinue en $x=1$.

Étape 4 — Calcul de $f(0)$ et $f(2)$

$0<1$, donc on utilise la première expression :

$2>1$, donc on utilise la seconde expression :

On constate que $f(0)=-2<0$ et $f(2)=3>0$ : les valeurs de $f$ aux bornes sont de signes opposés.

Étape 5 — Application du TVI et conclusion

Puisque $f(0)=-2<0$ et $f(2)=3>0$, les valeurs aux bornes sont de signes opposés. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c\in ]0,2[$ tel que $f(c)=0$.

Ainsi, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0,2[$.