Limites & continuité 1BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition et simplification.

La fonction $f$ est définie lorsque le dénominateur est non nul : $x^2-4\ne 0$, c'est-à-dire $x\ne 2$ et $x\ne -2$.

Donc $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$.

On factorise numérateur et dénominateur :

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Pour $x\in D_f$ (donc $x\ne 2$ et $x\ne -2$), on peut simplifier par $(x-2)$ :

$$f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}$$

On pose donc $g(x)=\frac{x-1}{x+2}$, et $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in D_f$.

Étape 2 — Limites en $\pm \infty$ et asymptote horizontale.

On calcule :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}=\frac{1}{1}=1$$

De même, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=1$.

Puisque $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=1$, la droite $y=1$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Étape 3 — Comportement au voisinage de $x=-2$.

On étudie $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x-1}{x+2}$.

Le numérateur tend vers $-2-1=-3\ne 0$, et le dénominateur tend vers $0$.

On précise le signe :

• Si $x\to -2^{+}$ : $x+2\to 0^{+}$, donc $\frac{-3}{0^{+}}\to -\infty$.
• Si $x\to -2^{-}$ : $x+2\to 0^{-}$, donc $\frac{-3}{0^{-}}\to +\infty$.

Les limites à gauche et à droite sont infinies (mais de signes opposés), donc :

$$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)=-\infty \text{et}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$$

Puisque $f(x)\to \pm \infty$ quand $x\to -2$, la droite $x=-2$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.

Étape 4 — Comportement au voisinage de $x=2$.

On remarque que $x=2\notin D_f$ : la fonction $f$ n'est pas définie en $x=2$. La droite $x=2$ est donc une droite verticale remarquable hors du domaine de $f$, exactement comme $x=-2$.

Par analogie avec ce qui précède, puisque $x=2$ est exclu du domaine de définition de $f$, on en déduit que :

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\pm \infty$$

et la droite $x=2$ est donc également une asymptote verticale à la courbe de $f$.

Étape 5 — Bilan des asymptotes (déduit de l'étape 4 fausse).

En conclusion, la courbe de $f$ admet :

• Une asymptote horizontale : $y=1$ (en $\pm \infty$).
• Deux asymptotes verticales : $x=-2$ et $x=2$.

Le tableau de synthèse est donc :

$$\begin{array}{cccc}\text{Droite}& \text{Equation}& \text{Type}& \text{Justification}\\ y=1& \underset{\pm \infty }{\lim }f=1& \text{Horizontale}& \text{Calculeˊe}\\ x=-2& \underset{x\to -2}{\lim }f=\pm \infty & \text{Verticale}& \text{Calculeˊe}\\ x=2& \text{hors domaine}& \text{Verticale}& \text{Par analogie (FAUX)}\end{array}$$