Limites & continuité 1BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition.

Le dénominateur est $x^2-3x+2$. On le factorise : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

$f$ est définie pour tout $x$ tel que $(x-1)(x-2)\ne 0$, c'est-à-dire $x\ne 1$ et $x\ne 2$.

Donc $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$.

Étape 2 — Limite en $x=1$ et prolongement par continuité.

On factorise le numérateur : $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

Pour $x\ne 1$ :

$$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}$$

Donc :

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1+1}{1-2}=\frac{2}{-1}=-2$$

La limite existe, est finie et vaut $-2$. On peut prolonger $f$ par continuité en $x=1$ en posant $\tilde{f}(1)=-2$.

Étape 3 — Limite en $x=2$ et nature de la singularité.

Pour $x\ne 1$, on a $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. Étudions le comportement au voisinage de $x=2$ :

• Lorsque $x\to 2^{+}$ : le numérateur tend vers $3>0$ et le dénominateur $x-2\to 0^{+}$, donc $f(x)\to +\infty$.
• Lorsque $x\to 2^{-}$ : le numérateur tend vers $3>0$ et le dénominateur $x-2\to 0^{-}$, donc $f(x)\to -\infty$.

Les limites à gauche et à droite sont distinctes ($+\infty \ne -\infty$), donc $f$ n'admet pas de limite en $x=2$. En particulier, la limite n'existe pas en ce point, ce qui signifie qu'on ne peut pas parler d'asymptote verticale au sens strict.

Étape 4 — Limite en $+\infty$ et asymptote horizontale.

On utilise toujours $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ pour $x$ grand. On divise numérateur et dénominateur par $x$ :

$$f(x)=\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}$$

Quand $x\to +\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$ et $\frac{2}{x}\to 0$, donc :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{1+0}{1-0}=1$$

La limite existe, est finie et vaut $1$. La droite $y=1$ est donc une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$.

Étape 5 — Bilan des asymptotes.

D'après l'étape 3, comme la limite de $f$ en $x=2$ n'existerait pas, on ne peut pas conclure à l'existence d'une asymptote verticale en $x=2$. La droite $x=2$ n'est donc pas retenue comme asymptote verticale à la courbe de $f$.

D'après l'étape 4, la droite $y=1$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ (et par un calcul analogue, en $-\infty$).

Conclusion : La courbe de $f$ admet une unique asymptote : la droite $y=1$.