Limites & Suites

**Rationalisation de $u_n$.** Pour tout $n\ge 1$, on multiplie $u_n$ par $\frac{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$ : $$u_n=\frac{(\sqrt{n^2+3n+1}{)}^2-(\sqrt{n^2-n+2}{)}^2}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{(n^2+3n+1)-(n^2-n+2)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{n^2+3n+1-n^2+n-2}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$

**Signe de $u_n$ pour $n\ge 1$.** Pour tout $n\ge 1$ : - Le dénominateur $\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}>0$ (somme de deux racines positives). - Le numérateur : $4n-1\ge 4(1)-1=3>0$ pour tout $n\ge 1$. Donc $u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}>0$ pour tout $n\ge 1$. Ainsi $u_n>0$ pour tout $n\ge 1$.

**Calcul de $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.** Supposons que la suite $(u_n)$ admet une limite finie $L$ quand $n\to +\infty$. On part de la relation : $$u_n=\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2}$$ En passant à la limite et en utilisant la continuité de la racine carrée, on obtient une forme indéterminée $+\infty -+\infty$. On utilise alors la forme rationalisée : $$u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ Pour $n$ grand, $\sqrt{n^2+3n+1}\sim n$ et $\sqrt{n^2-n+2}\sim n$, donc le dénominateur est équivalent à $2n$, et le numérateur est équivalent à $4n$. Ainsi $u_n\sim \frac{4n}{2n}=2$. Donc $L=2$, ce qui confirme que la limite vaut $2$. Puisque $L=2$ est solution de l'équation de point fixe, on conclut : $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$$

**Calcul de $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }n(u_n-2)$.** On exprime $u_n-2$ : $$u_n-2=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}-2$$ $$=\frac{4n-1-2\left(\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}\right)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ Notons $A=\sqrt{n^2+3n+1}$ et $B=\sqrt{n^2-n+2}$. On développe $A$ et $B$ pour $n$ grand : $$A=n\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}\approx n\left(1+\frac{3}{2n}+\frac{1}{2n^2}-\frac{9}{8n^2}\right)=n+\frac{3}{2}-\frac{5}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$$ $$B=n\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}\approx n\left(1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{8n^2}\right)=n-\frac{1}{2}+\frac{7}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$$ Donc : $$A+B=2n+1+\frac{2}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)=2n+1+\frac{1}{4n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$$ $$4n-1-2(A+B)=4n-1-4n-2-\frac{1}{2n}=-3-\frac{1}{2n}$$ Ainsi : $$u_n-2=\frac{-3-\frac{1}{2n}}{2n+1+\frac{1}{4n}}$$ $$v_n=n(u_n-2)=\frac{-3n-\frac{1}{2}}{2n+1+\frac{1}{4n}}=\frac{-3-\frac{1}{2n}}{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}}$$ Puisque la limite de $(u_n)$ est $L=2$, ce calcul est cohérent : $v_n=n(u_n-L)$ mesure la vitesse de convergence vers $L$. Quand $n\to +\infty$ : $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\frac{-3}{2}$$

**Conclusion générale.** 1) $u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$ (démontré par rationalisation). 2) $u_n>0$ pour tout $n\ge 1$. 3) En supposant que $(u_n)$ admet une limite finie $L$, l'équation de point fixe donne $L=2$. On conclut donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$. 4) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-\frac{3}{2}$.