Limites & Suites

Identification de la forme indéterminée : Pour tout $n\ge 1$, $u_n=\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2}$. Quand $n\to +\infty$, $\sqrt{n^2+3n+1}\to +\infty$ et $\sqrt{n^2-n+2}\to +\infty$, donc $u_n$ est de la forme $+\infty -+\infty$.

Rationalisation par multiplication par l'expression conjuguée : $$u_n=\frac{(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2})(\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2})}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{(n^2+3n+1)-(n^2-n+2)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$ $$=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$

Passage à la limite par composition directe : On remarque que $\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$ peut s'écrire comme $f(v_n)$ où $f$ est une fonction continue. Puisque la fonction racine carrée est continue sur $]0,+\infty [$, on peut appliquer directement le théorème de composition des limites à chaque radical séparément. On pose $v_n=n^2+3n+1$ et $w_n=n^2-n+2$, et l'on écrit : $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{v_n}=\sqrt{\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n}\text{et}\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{w_n}=\sqrt{\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n}$$ Or $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n=+\infty$, donc $\sqrt{v_n}\to \sqrt{+\infty }=+\infty$ et $\sqrt{w_n}\to +\infty$. On en déduit que le dénominateur tend vers $+\infty$. Le numérateur $4n-1$ tend également vers $+\infty$. On conclut alors : $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}=\frac{+\infty }{+\infty }$$ ce qui constitue à nouveau une forme indéterminée. On factorise alors $n$ au numérateur et $n$ au dénominateur (en utilisant $\sqrt{n^2}=n$ pour $n>0$) : $$u_n=\frac{n\left(4-\frac{1}{n}\right)}{n\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}$$

Simplification par $n>0$ : $$u_n=\frac{4-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}$$ On applique à nouveau le théorème de composition des limites : puisque $\frac{1}{n}\to 0$, $\frac{3}{n}\to 0$, $\frac{1}{n^2}\to 0$, $\frac{2}{n^2}\to 0$, les suites sous les radicaux tendent respectivement vers $1$ et $1$. La fonction racine carrée étant continue en $1>0$, on peut écrire : $$\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}\to \sqrt{1}=1\text{et}\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}\to \sqrt{1}=1$$ Le dénominateur tend donc vers $1+1=2\ne 0$, ce qui lève la forme indéterminée. On applique le théorème de composition une dernière fois pour conclure que la limite existe.

Passage à la limite quand $n\to +\infty$ : En appliquant le théorème de composition à chaque terme, on obtient : $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{4-0}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1-0+0}}=\frac{4}{1+1}=\frac{4}{2}=2$$ Cependant, la démarche employée à l'étape 3 consistait à invoquer la composition des limites pour les suites $\sqrt{v_n}$ et $\sqrt{w_n}$ alors que $v_n\to +\infty$ et $w_n\to +\infty$. Le théorème de composition stipule que si $v_n\to \ell$ (finie) et $f$ est continue en $\ell$, alors $f(v_n)\to f(\ell )$. Or ici $\ell =+\infty$ n'est pas un réel fini : on ne peut pas écrire $\sqrt{+\infty }=+\infty$ en invoquant la continuité de $\sqrt{\cdot }$. La conclusion $\sqrt{v_n}\to +\infty$ est certes vraie, mais elle ne découle pas du théorème de composition des limites — elle résulte d'un raisonnement de croissance comparée distinct. Le résultat final est donc obtenu par une justification incorrecte, même si le calcul numérique aboutit à : $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$$