Limites & Suites

Montrons par récurrence que $u_n>0$ pour tout $n\ge 0$, ce qui garantit que la suite est bien définie (le dénominateur $u_n+3>3>0$ ne s'annule jamais). **Initialisation :** $u_0=2>0$. ✓ **Hérédité :** Supposons $u_n>0$. Alors $u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+3}$. Le numérateur $3u_n+4>4>0$ et le dénominateur $u_n+3>3>0$, donc $u_{n+1}>0$. Par le principe de récurrence, $u_n>0$ pour tout $n\ge 0$, et la suite est bien définie.

Montrons que la suite $(u_n)$ est minorée par $2$ pour tout $n\ge 0$. Étudions le signe de $u_{n+1}-2$ : $$u_{n+1}-2=\frac{3u_n+4}{u_n+3}-2=\frac{3u_n+4-2(u_n+3)}{u_n+3}=\frac{u_n-2}{u_n+3}.$$ On vérifie par récurrence que $u_n\ge 2$ pour tout $n\ge 0$. **Initialisation :** $u_0=2\ge 2$. ✓ **Hérédité :** Si $u_n\ge 2$, alors $u_n-2\ge 0$ et $u_n+3>0$, donc $u_{n+1}-2=\frac{u_n-2}{u_n+3}\ge 0$, soit $u_{n+1}\ge 2$. Donc $u_n\ge 2$ pour tout $n\ge 0$.

Montrons que la suite $(u_n)$ est décroissante. Étudions le signe de $u_{n+1}-u_n$ : $$u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+4}{u_n+3}-u_n=\frac{3u_n+4-u_n(u_n+3)}{u_n+3}=\frac{3u_n+4-u_n^2-3u_n}{u_n+3}=\frac{4-u_n^2}{u_n+3}=\frac{(2-u_n)(2+u_n)}{u_n+3}.$$ Or, d'après l'étape 2, $u_n\ge 2$, donc $2-u_n\le 0$. De plus, $2+u_n>0$ et $u_n+3>0$. Donc $u_{n+1}-u_n=\frac{(2-u_n)(2+u_n)}{u_n+3}\le 0$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$. D'après le **théorème de la convergence monotone**, la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \in \mathbb{R}$. De plus, puisque $(u_n)$ est décroissante et $u_n\ge 2$ pour tout $n$, on a nécessairement $\ell \ge 2$.

Calculons la valeur de $\ell$. En passant à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+3}$, et en utilisant la continuité des opérations algébriques : $$\ell =\frac{3\ell +4}{\ell +3}.$$ On résout cette équation : $$\ell (\ell +3)=3\ell +4$$ $${\ell }^2+3\ell =3\ell +4$$ $${\ell }^2=4$$ $$\ell =2\text{ou}\ell =-2.$$ Puisque $\ell \ge 2$ (d'après l'étape 4), on retient $\ell =2$. Conclusion : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.

**Vérification de la cohérence :** On a $u_0=2$, et si $u_n=2$ alors $u_{n+1}=\frac{3\times 2+4}{2+3}=\frac{10}{5}=2$. Ainsi, $\ell =2$ est bien un point fixe de la fonction $f(x)=\frac{3x+4}{x+3}$. Mais attention : pour que la récurrence de l'étape 2 soit rigoureusement valide, il aurait fallu supposer simultanément $u_n\ge 2$ **et** $u_{n+1}\ge 2$ dans l'hypothèse de récurrence, car la relation de récurrence fait intervenir deux rangs consécutifs. En supposant seulement $u_n\ge 2$, on déduit $u_{n+1}\ge 2$, mais pour établir $u_{n+2}\ge 2$ il faut disposer de $u_{n+1}\ge 2$, ce qui n'est pas couvert par une récurrence simple portant uniquement sur le rang $n$. Une récurrence forte aurait été nécessaire : supposer $\forall k\le n,u_k\ge 2$, puis en déduire $u_{n+1}\ge 2$. En appliquant correctement la récurrence forte, on obtient que la minoration $u_n\ge 2$ est valide, mais le minorant exact de la suite est en réalité $\ell =2$, valeur atteinte dès $u_0$. La suite est donc stationnaire, et sa limite est bien $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.