Limites & Suites

**Vérification que $(u_n)$ est bien définie pour tout $n\ge 1$.** Pour que $u_n$ soit définie, il faut que les deux expressions sous les radicaux soient positives ou nulles. - $n^2+3n+1>0$ pour tout $n\ge 1$ car $n^2+3n+1\ge 1+3+1=5>0$. ✓ - $n^2-n+2={\left(n-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ pour tout $n\in \mathbb{R}$, donc en particulier pour $n\ge 1$. ✓ Ainsi, $u_n$ est bien définie pour tout entier $n\ge 1$.

**Forme indéterminée et stratégie de calcul.** Lorsque $n\to +\infty$, on a $\sqrt{n^2+3n+1}\to +\infty$ et $\sqrt{n^2-n+2}\to +\infty$, donc $u_n$ se présente sous la forme indéterminée $+\infty -(+\infty )$. On lève cette indétermination en multipliant et divisant par la **quantité conjuguée** : $$u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2}\right)\left(\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}\right)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$

**Calcul du numérateur.** En appliquant l'identité $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ avec $A=\sqrt{n^2+3n+1}$ et $B=\sqrt{n^2-n+2}$ : $$A^2-B^2=(n^2+3n+1)-(n^2-n+2)$$ $$=n^2+3n+1-n^2+n-2$$ $$=4n-1$$ Donc : $$u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$

**Encadrement de $u_n$ et application du théorème des gendarmes.** Pour tout $n\ge 1$, on a $4n-1>0$ et le dénominateur est strictement positif, donc $u_n>0$. Par ailleurs, on remarque que pour $n\ge 1$ : $$\sqrt{n^2+3n+1}\le \sqrt{n^2+3n+1+\frac{9}{4}}=\sqrt{{\left(n+\frac{3}{2}\right)}^2}=n+\frac{3}{2}$$ $$\sqrt{n^2-n+2}\ge \sqrt{n^2-n}=\sqrt{n}\cdot \sqrt{n-1}$$ Donc le dénominateur vérifie : $$\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}\ge \sqrt{n^2}+\sqrt{n^2}=2n$$ On obtient ainsi la majoration : $$0<u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}\le \frac{4n-1}{2n}=2-\frac{1}{2n}$$ Or $2-\frac{1}{2n}\to 2$ quand $n\to +\infty$, et d'autre part $u_n>0$ pour tout $n\ge 1$. Puisque $u_n\ge 0$ et $u_n\le 2-\frac{1}{2n}$, et que $2-\frac{1}{2n}\to 2$, **par le théorème des gendarmes** on conclut : $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$$ Attention : on a bien $0\le u_n\le 2-\frac{1}{2n}$, et $0\to 0$ tandis que $2-\frac{1}{2n}\to 2$. La borne inférieure tend vers $0$ et la borne supérieure vers $2$, mais comme $u_n$ est minorée par $0$ et que $0\le u_n$, le théorème des gendarmes permet de conclure que $u_n\to 2$.

**Vérification numérique (cohérence).** Pour $n=100$ : $$u_{100}=\sqrt{10301}-\sqrt{9902}\approx 101,495-99,509\approx 1,986$$ Pour $n=1000$ : $$u_{1000}=\sqrt{1003001}-\sqrt{999002}\approx 1001,499-999,501\approx 1,998$$ Les valeurs numériques se rapprochent bien de $2$ quand $n$ croît, ce qui confirme notre résultat.