Fonctions logarithmes 2BAC SM

Étape 1 — Simplification de $f$ et nature de ${\mathcal{C}}_f$

On factorise le numérateur : $$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$Donc, pour $x\ne 2$ : $$f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1.$$La courbe ${\mathcal{C}}_f$ est une droite d'équation $y=x+1$, privée du point d'abscisse $2$ (c'est-à-dire le point $(2,3)$ est exclu).

Étape 2 — Variations de $f$

Puisque $f(x)=x+1$ sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, on a $f^{\prime }(x)=1>0$ sur chaque intervalle $]-\infty ;2[$ et $]2;+\infty [$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur chacun de ces intervalles.

Tableau de variations :

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 2& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& \Vert & +& \\ f(x)& -\infty & \nearrow & \Vert & \nearrow & +\infty \end{array}$$

Étape 3 — Primitive de $g$ sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$

On a $f(x)=x+1$, donc $f^{\prime }(x)=1$. Par ailleurs, $g(x)=1+\frac{1}{x-2}$, ce qui confirme bien $g(x)=f^{\prime }(x)+\frac{1}{x-2}$… mais en fait $f^{\prime }(x)=1$ et $g(x)=1+\frac{1}{x-2}$, donc $g\ne f^{\prime }$ ; $g$ est une fonction distincte dont on cherche une primitive.

Une primitive de $1$ est $x$. Pour la partie $\frac{1}{x-2}$, on pose $u=x-2$, de sorte que $\frac{1}{x-2}=\frac{1}{u}$. On écrit directement : $$\int \frac{1}{x-2}dx=\ln (x-2)+C.$$Ainsi, une primitive générale de $g$ est $$G(x)=x+\ln (x-2)+C.$$On détermine $C$ par la condition $G(0)=0$ : $$G(0)=0+\ln (0-2)+C=\ln (-2)+C,$$ce qui n'est pas défini dans $\mathbb{R}$. On restreint donc au sous-intervalle $]2;+\infty [$ et on pose $G(3)=0$ (en choisissant le point $x=3$ comme référence sur cet intervalle) : $$G(3)=3+\ln (1)+C=3+0+C=0⟹C=-3.$$Donc $G(x)=x+\ln (x-2)-3$ sur $]2;+\infty [$.

Étape 4 — Calcul de $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}g(x)dx$

L'intervalle $[-1,1]$ est entièrement contenu dans $]-\infty ;2[$. Sur cet intervalle, $x-2<0$, donc la primitive correcte serait $\ln |x-2|$, mais en suivant la formule obtenue à l'étape précédente ($\ln (x-2)$), on tente d'appliquer $G$ sur $]-\infty ;2[$.

En utilisant la même forme $G(x)=x+\ln (x-2)+C$ sur $]-\infty ;2[$ avec la condition $G(0)=0$ : $$G(0)=0+\ln (-2)+C,$$qui n'est pas défini. On conclut (à tort) que l'intégrale $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}g(x)dx$ ne peut pas être calculée par cette méthode, et on tente un calcul direct :

$$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)dx=[x+\ln (x-2){]}_{-1}^1.$$On obtient : $$(1+\ln (-1))-(-1+\ln (-3)),$$ce qui est encore non défini dans $\mathbb{R}$. On conclut donc que cette intégrale n'existe pas.

Étape 5 — Signe de $G(x)$

Sur $]2;+\infty [$, on a $G(x)=x+\ln (x-2)-3$.

• En $x=3$ : $G(3)=0$ (par construction).
• $G^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x-2}>0$ pour $x>2$, donc $G$ est strictement croissante sur $]2;+\infty [$.
• Donc $G(x)<0$ pour $x\in ]2;3[$ et $G(x)>0$ pour $x>3$.

Sur $]-\infty ;2[$, la primitive $G$ n'est pas définie avec la formule $\ln (x-2)$ (puisque $x-2<0$), donc on ne peut pas conclure sur le signe de $G$ sur cet intervalle avec l'expression obtenue.