Fonctions logarithmes 2BAC SM

Étape 1 — Simplification de $f(x)$

On utilise les propriétés $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ et $\ln (a^n)=n\ln a$ :

$$f(x)=\ln \left(x^2(x+1)\right)-\ln (x+1)$$

$$=\ln (x^2)+\ln (x+1)-\ln (x+1)$$

$$=2\ln (x)+\ln (x+1)-\ln (x+1)$$

$$=2\ln (x)$$

Ainsi $f(x)=2\ln (x)$, définie sur $]0,+\infty [$.

Étape 2 — Calcul de $f^{\prime }(x)$ par développement puis dérivation terme à terme

Plutôt que de dériver directement $2\ln (x)$, on souhaite vérifier en repartant de l'expression initiale développée :

$$f(x)=\ln (x^2)+\ln (x+1)-\ln (x+1)=\ln (x^2)$$

On dérive $\ln (x^2)$ en utilisant la règle de la chaîne : la fonction intérieure est $u(x)=x^2$, donc $u^{\prime }(x)=2x$, et :

$${\left(\ln (x^2)\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$$

On retrouve bien $f^{\prime }(x)=\frac{2}{x}$, ce qui est cohérent avec la dérivée de $2\ln (x)$.

Étape 3 — Calcul de $f^{\prime }(x)$ en repartant de l'expression originale non simplifiée (vérification)

On repart de $f(x)=\ln (x^2(x+1))-\ln (x+1)$ et on développe :

$$f(x)=\ln (x^2)+\ln (x+1)-\ln (x+1)$$

On dérive terme à terme. Pour $\ln (x^2)$ : fonction intérieure $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$, donc $(\ln (x^2){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$.

Pour $\ln (x+1)$ : fonction intérieure $v=x+1$, $v^{\prime }=1$, donc $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$.

Ainsi :

$$f^{\prime }(x)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$$

On confirme $f^{\prime }(x)=\frac{2}{x}$.

Étape 4 — Étude du signe de $f^{\prime }(x)$ et variations de $f$

Sur $]0,+\infty [$, on a $x>0$, donc $\frac{2}{x}>0$.

Ainsi $f^{\prime }(x)>0$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$, ce qui signifie que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$.

Tableau de variations :

$$\begin{array}{cccc}x& 0^{+}& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& \\ f(x)& -\infty & \nearrow & +\infty \end{array}$$

Étape 5 — Équation de la tangente en $x=1$

On calcule $f(1)$ et $f^{\prime }(1)$.

$f(1)=2\ln (1)=2\times 0=0$.

Pour $f^{\prime }(1)$, on repart de l'expression originale développée afin d'illustrer la dérivation terme à terme :

$$f(x)=\ln (x^2)+\ln (x+1)-\ln (x+1)$$

En dérivant, on obtient pour chaque terme :

• $(\ln (x^2){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$, donc en $x=1$ : $\frac{2}{1}=2$.
• $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$, donc en $x=1$ : $\frac{1}{2}$.

Ainsi :

$$f^{\prime }(1)=2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=2$$

L'équation de la tangente au point $(1,f(1))=(1,0)$ est :

$$y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+0$$

$$\boxed{y=2x-2}$$

Étape 6 — Vérification par une autre décomposition (calcul alternatif de $f^{\prime }$)

On souhaite dériver $f(x)=\ln (x^2)+\ln (x+1)-\ln (x+1)$ en traitant $\ln (x^2)$ différemment, en l'écrivant $\ln (x^2)=2\ln (x)$, puis en dérivant :

$$(2\ln (x){)}^{\prime }=\frac{2}{x}$$

Pour les termes $\ln (x+1)$ et $-\ln (x+1)$, on dérive :

$$(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1},(-\ln (x+1){)}^{\prime }=-\frac{1}{x+1}$$

On regroupe :

$$f^{\prime }(x)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$$

Cependant, si l'on avait voulu dériver $\ln (x+1)$ en oubliant de diviser par la fonction intérieure, on aurait écrit $(\ln (x+1){)}^{\prime }=1$ au lieu de $\frac{1}{x+1}$. En appliquant cette erreur au terme $+\ln (x+1)$ uniquement (et non au terme $-\ln (x+1)$), on obtiendrait :

$$f^{\prime }(x)=\frac{2}{x}+1-\frac{1}{x+1}$$

En $x=1$ :

$$f^{\prime }(1)=2+1-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$$

L'équation de la tangente deviendrait alors :

$$y=\frac{5}{2}(x-1)$$

$$\boxed{y=\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}}$$