Logique mathématique 1BAC SM

Étape 1 – Résolution de $x^2-5x+6=0$ et valeur de vérité de $P(x)\Rightarrow Q(x)$

On calcule le discriminant : $\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1>0$.

Les racines sont $$x_1=\frac{5-1}{2}=2\text{et}{x}_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

Donc $P(x)$ est vraie si et seulement si $x=2$ ou $x=3$, ce qui correspond exactement à $Q(x)$.

Ainsi, pour tout réel $x$ : si $P(x)$ est vraie alors $Q(x)$ est vraie. L'implication $P(x)\Rightarrow Q(x)$ est vraie.

Étape 2 – Contraposée et réciproque de $P(x)\Rightarrow Q(x)$

L'implication de départ est : $(P)\Rightarrow (Q)$, soit « $x^2-5x+6=0\Rightarrow (x=2\text{ ou }x=3)$ ».

• Réciproque : $(Q)\Rightarrow (P)$, soit « $(x=2\text{ ou }x=3)\Rightarrow x^2-5x+6=0$ ».
• Contraposée : $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$, soit « $(x\ne 2\text{ et }x\ne 3)\Rightarrow x^2-5x+6\ne 0$ ».

La proposition logiquement équivalente à $P(x)\Rightarrow Q(x)$ est la contraposée $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$. La réciproque, quant à elle, est une proposition indépendante dont la valeur de vérité doit être établie séparément.

Étape 3 – $R(x)$ est-elle équivalente à $P(x)$ ?

On développe $R(x)$ : $x(x-5)=-6$, soit $x^2-5x=-6$, d'où $x^2-5x+6=0$.

On retrouve exactement l'équation de $P(x)$. Donc $R(x)$ et $P(x)$ sont deux formulations de la même équation : elles sont logiquement équivalentes ($R(x)\iff P(x)$).

Étape 4 – Identification de la proposition à démontrer

La proposition à démontrer est : « Si $x\ne 2$ et $x\ne 3$, alors $x^2-5x+6\ne 0$ ».

En posant $\neg Q(x)$ : « $x\ne 2$ et $x\ne 3$ » et $\neg P(x)$ : « $x^2-5x+6\ne 0$ », cette proposition s'écrit $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$, c'est-à-dire la contraposée de $P(x)\Rightarrow Q(x)$.

Étape 5 – Conclusion sur la valeur de vérité (étape contenant l'erreur)

Pour conclure, on observe que la réciproque de $P(x)\Rightarrow Q(x)$ est $(Q)\Rightarrow (P)$, soit « $(x=2\text{ ou }x=3)\Rightarrow x^2-5x+6=0$ ».

Or, si $x=2$ : $4-10+6=0$ ✓, et si $x=3$ : $9-15+6=0$ ✓. Donc la réciproque $(Q)\Rightarrow (P)$ est vraie.

Puisque la réciproque est vraie, et que la réciproque est équivalente à l'implication initiale $P(x)\Rightarrow Q(x)$, la contraposée $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$ est également vraie.

Conclusion : La proposition « Si $x\ne 2$ et $x\ne 3$, alors $x^2-5x+6\ne 0$ » est vraie, démontrée via la vérité de la réciproque.