Logique mathématique 1BAC SM

Étape 1 — Valeur de vérité de $P$.

On étudie $f(x)=x^2-2x+3$. Le discriminant vaut $\Delta =4-12=-8<0$. Comme $\Delta <0$ et le coefficient dominant est $1>0$, le trinôme est strictement positif pour tout réel. Donc $P$ est vraie.

Valeur de vérité de $Q$.

On cherche si $x^2\le 4$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Or pour $x=3$, on a $x^2=9>4$, donc $Q$ est fausse.

Valeur de vérité de $R$.

On étudie $g(x)=x^2+x+1$. Le discriminant vaut $\Delta =1-4=-3<0$. Comme $\Delta <0$, l'équation $g(x)=0$ n'a aucune solution réelle. Donc $R$ est fausse.

Étape 2 — Négation de $P$.

$P$ est de la forme $\forall x\in \mathbb{R},\mathcal{P}(x)$ où $\mathcal{P}(x)$ est « $x^2-2x+3>0$ ».

Par la règle de négation du quantificateur universel :

C'est bien la structure $\exists x\in \mathbb{R},\neg \mathcal{P}(x)$ : le quantificateur $\forall$ devient $\exists$ et le prédicat est nié.

Étape 3 — Négation de $Q$.

$Q$ est de la forme $\forall x\in \mathbb{R},\mathcal{Q}(x)$ où $\mathcal{Q}(x)$ est « $x^2-4\le 0$ ».

On applique la règle de négation :

Ainsi $\neg Q$ affirme que pour tout réel $x$, on a $x^2>4$.

Négation de $R$.

$R$ est de la forme $\exists x\in \mathbb{R},\mathcal{R}(x)$. Sa négation est :

Étape 4 — Utilisation de $\neg Q$ pour exhiber un contre-exemple à $Q$.

D'après la négation obtenue à l'étape 3, $\neg Q$ est : « $\forall x\in \mathbb{R},x^2-4>0$ ».

On vérifie avec $x=3$ : $3^2-4=9-4=5>0$. ✓

Ceci confirme que $Q$ est fausse, car on a trouvé un $x$ tel que $\mathcal{Q}(x)$ est fausse.

Remarque : On utilise ici le fait que $\neg Q$ étant vraie (puisque $Q$ est fausse), il existe bien un réel satisfaisant la condition niée — en l'occurrence $x=3$.

Étape 5 — Démonstration que $P\Rightarrow (\neg R)$ est vraie.

Une implication $A\Rightarrow B$ est vraie dès que $B$ est vraie (quelle que soit la valeur de vérité de $A$), ou dès que $A$ est fausse.

On a établi en étape 1 que $R$ est fausse, donc $\neg R$ est vraie.

Puisque la conclusion $\neg R$ est vraie, l'implication $P\Rightarrow (\neg R)$ est vraie, indépendamment de la valeur de vérité de $P$.

On peut le confirmer : $P$ est vraie (étape 1) et $\neg R$ est vraie, donc on est dans le cas « Vrai $\Rightarrow$ Vrai », qui est effectivement une implication vraie. $■$