Logique mathématique 1BAC SM

Étape 1 — Factorisation du trinôme et résolution.

On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $a+b=5$ et $a\times b=6$. On trouve $a=2$ et $b=3$, donc :

$$n^2-5n+6=(n-2)(n-3)$$

L'équation $P(n)$ s'écrit alors $(n-2)(n-3)=0$, ce qui donne, dans $\mathbb{Z}$ :

$$n=2\text{ou}n=3$$

L'ensemble des solutions est $S=\{2;3\}$.

Étape 2 — Démonstration de $P(n)\iff Q(n)$.

Pour établir l'équivalence $P(n)\iff Q(n)$, on vérifie les deux propositions sur l'exemple $n=2$ :

• Pour $n=2$ : $P(2)$ vaut $4-10+6=0$ ✓, donc $P(2)$ est vraie.
• Pour $n=2$ : $Q(2)$ est « $2\in \{2;3\}$ » qui est vraie.

$P(2)$ et $Q(2)$ ont la même valeur de vérité (toutes deux vraies). On vérifie également pour $n=3$ :

• $P(3)$ : $9-15+6=0$ ✓ → vraie.
• $Q(3)$ : « $3\in \{2;3\}$ » → vraie.

Dans les deux cas, $P(n)$ et $Q(n)$ ont la même valeur de vérité. On conclut donc que $P(n)\iff Q(n)$ pour tout entier $n$.

Étape 3 — Étude de $Q(n)\Rightarrow R(n)$.

On rappelle que $R(n)$ : « $n^2>4$ ».

$Q(n)$ est vraie si et seulement si $n=2$ ou $n=3$. On teste les deux valeurs :

• $n=2$ : $R(2)$ est « $4>4$ » qui est fausse.

Il suffit d'un contre-exemple pour que l'implication soit fausse. Puisque $Q(2)$ est vraie et $R(2)$ est fausse, l'implication $Q(n)\Rightarrow R(n)$ est fausse (pour $n=2$, on a une prémisse vraie et une conclusion fausse).

Étape 4 — Conclusion sur $P(n)\Rightarrow R(n)$.

On a établi (à l'étape 2) que $P(n)\iff Q(n)$ pour tout entier $n$. En particulier, $P(n)\Rightarrow Q(n)$.

Or, à l'étape 3, on a montré que $Q(n)\Rightarrow R(n)$ est fausse.

Puisque la chaîne $P(n)\Rightarrow Q(n)\Rightarrow R(n)$ est rompue (le second maillon est faux), on conclut que $P(n)\Rightarrow R(n)$ est fausse pour tout entier naturel $n$.

En effet, pour $n=2$ : $P(2)$ est vraie et $R(2)$ est fausse, ce qui constitue un contre-exemple direct.