Logique mathématique 1BAC SM

Étape 1 – Table de vérité de l'implication.

La table de vérité de $P\Rightarrow Q$ est :

L'implication $P\Rightarrow Q$ est fausse dans un seul cas : lorsque $P$ est vraie et $Q$ est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.

Étape 2 – Démonstration que $P\Rightarrow Q$ est vraie.

On veut montrer : « Si $n$ est un multiple de $4$, alors $n$ est un multiple de $2$ ».

Démonstration directe : Supposons $P$ vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $k$ tel que $n=4k$. On peut écrire $$n=4k=2\times (2k).$$ Comme $2k$ est un entier, $n$ est bien un multiple de $2$, donc $Q$ est vraie.

Ainsi, $P\Rightarrow Q$ est une implication vraie.

Étape 3 – Analyse de la conclusion de l'élève (étape contenant l'erreur).

On sait que :

• L'implication $P\Rightarrow Q$ est vraie.
• $Q$ est vraie ($n$ est un multiple de $2$).

L'élève conclut : « $Q$ est vraie et $P\Rightarrow Q$ est vraie, donc $P$ est vraie. »

Ce raisonnement est correct : puisque $P\Rightarrow Q$ est vraie, la vérité de $Q$ entraîne nécessairement la vérité de $P$. On peut donc affirmer que $n$ est un multiple de $4$.

Par exemple, $n=6$ est un multiple de $2$, donc d'après ce raisonnement, $n=6$ serait un multiple de $4$, ce qui est cohérent avec la conclusion.

Étape 4 – Valeur de vérité de $Q\Rightarrow R$.

On veut étudier : « Si $n$ est un multiple de $2$, alors $n^2$ est un multiple de $4$ ».

Démonstration : Supposons $Q$ vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $k$ tel que $n=2k$. Alors $$n^2=(2k{)}^2=4k^2.$$ Comme $k^2$ est un entier, $n^2$ est un multiple de $4$, donc $R$ est vraie.

Ainsi, $Q\Rightarrow R$ est vraie.

En admettant (par l'étape 3) que $Q$ vraie implique $P$ vraie, on en déduit que $P$ est vraie dès que $Q$ l'est, ce qui renforce la conclusion précédente.

Étape 5 – Transitivité et conclusion générale.

On a établi :

• $P\Rightarrow Q$ est vraie (étape 2).
• $Q\Rightarrow R$ est vraie (étape 4).

Par transitivité de l'implication : si $A\Rightarrow B$ et $B\Rightarrow C$ sont vraies, alors $A\Rightarrow C$ est vraie. On conclut donc que $P\Rightarrow R$ est vraie, c'est-à-dire :

$$\text{« Si }n\text{ est un multiple de }4,\text{ alors }{n}^2\text{ est un multiple de }4.»$$

De plus, en vertu de la conclusion de l'étape 3, la réciproque est également vraie : $Q\Rightarrow P$, ce qui signifie que $P$ et $Q$ sont équivalentes, et donc que $R\Rightarrow P$ aussi.