Logique mathématique 1BAC SM

Étape 1 — Résolution de $P(x)$ et ensemble de vérité $E_P$.

On résout $x^2-5x+6=0$. Le discriminant vaut $\Delta =25-24=1>0$, donc :

Ainsi $E_P=\{2,3\}$.

Étape 2 — Ensembles de vérité de $Q(x)$, $R(x)$ et $Q(x)\wedge R(x)$.

Par définition :

• $E_Q=[2,+\infty [$
• $E_R=(-\infty ,3]$

L'ensemble de vérité de la conjonction $Q(x)\wedge R(x)$ est :

Étape 3 — Vérité de $\mathcal{H}(x):P(x)⟹(Q(x)\wedge R(x))$.

Une implication $P⟹C$ est fausse uniquement lorsque $P$ est vraie et $C$ est fausse, c'est-à-dire lorsque $x\in E_P$ mais $x\notin E_{Q\wedge R}$.

Or $E_P=\{2,3\}\subset [2,3]=E_{Q\wedge R}$, donc il n'existe aucun $x$ pour lequel $P(x)$ est vraie et $Q(x)\wedge R(x)$ est fausse.

Par conséquent, $\mathcal{H}(x)$ est une proposition vraie sur $\mathbb{R}$.

Étape 4 — Négation de $\mathcal{H}(x)$ : première réécriture.

On rappelle que la négation d'une implication est :

Appliqué ici avec $A=P(x)$ et $B=Q(x)\wedge R(x)$ :

Il reste à développer $\overline{Q(x)\wedge R(x)}$ à l'aide des lois de De Morgan.

Étape 5 — Application des lois de De Morgan (étape contenant l'erreur).

On applique la négation à la conjonction $Q(x)\wedge R(x)$. En niant chaque terme séparément, on obtient :

Soit en clair :

• $\overline{Q(x)}$ : « $x<2$ »
• $\overline{R(x)}$ : « $x>3$ »

Donc :

Étape 6 — Ensemble de vérité de $\overline{\mathcal{H}}(x)$.

D'après l'étape précédente :

L'ensemble de vérité de $\overline{\mathcal{H}}(x)$ est :

On conclut que $\overline{\mathcal{H}}(x)$ est fausse pour tout $x\in \mathbb{R}$, ce qui est cohérent avec le fait que $\mathcal{H}(x)$ est vraie — mais cette conclusion est obtenue par un raisonnement erroné sur la négation.