Polynômes & équations du 2nd degré TC

Étape 1 — Calcul du discriminant.

Le trinôme est $f(x)=m{x}^2-(m+3)x+(m+1)$, donc :

$$a=m,b=-(m+3),c=m+1$$

Le discriminant est :

$$\Delta =b^2-4ac=(m+3{)}^2-4\cdot m\cdot (m+1)$$

On développe :

$$(m+3{)}^2=m^2+6m+9$$

$$4m(m+1)=4m^2+4m$$

Donc :

$$\Delta =m^2+6m+9-4m^2-4m=-3m^2+2m+9$$

Étape 2 — Résolution de $\Delta <0$.

On cherche les valeurs de $m$ telles que $-3m^2+2m+9<0$, soit :

$$3m^2-2m-9>0$$

Le discriminant de ce trinôme en $m$ est :

$$\delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-9)=4+108=112$$

$$\sqrt{\delta }=4\sqrt{7}$$

Les racines sont :

$$m_1=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}=\frac{1-2\sqrt{7}}{3},m_2=\frac{2+4\sqrt{7}}{6}=\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$$

Puisque le coefficient de $m^2$ dans $3m^2-2m-9$ est positif, la parabole est tournée vers le haut, donc :

$$\Delta <0⟺m<\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\text{ou}m>\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$$

Étape 3 — Conclusion sur la positivité de $f$ (étape contenant l'erreur).

Pour que $f(x)>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, il faut et il suffit que le trinôme $f$ n'ait pas de racines réelles, c'est-à-dire que $\Delta <0$.

D'après l'étape précédente, cette condition est réalisée pour :

$$m\in \left]-\infty ,\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\right[\cup \left]\frac{1+2\sqrt{7}}{3},+\infty \right[$$

On conclut donc que $f(x)>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ si et seulement si $m$ appartient à cet ensemble.

Étape 4 — Vérification pour $m=-\frac{1}{2}$.

On note que $m=-\frac{1}{2}$ vérifie $m<\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,43$... Attendons : $-\frac{1}{2}=-0,5>-1,43$, donc $m=-\frac{1}{2}$ n'appartient pas à l'ensemble trouvé. Pourtant, calculons $\Delta$ pour $m=-\frac{1}{2}$ :

$$\Delta =-3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2\left(-\frac{1}{2}\right)+9=-\frac{3}{4}-1+9=\frac{29}{4}>0$$

Donc $f$ admet deux racines réelles pour $m=-\frac{1}{2}$, ce qui est cohérent avec le fait que ce $m$ n'est pas dans l'ensemble $\Delta <0$. La vérification est ainsi confirmée selon la solution proposée.

Étape 5 — Récapitulatif.

En résumé, selon la solution présentée :

• $\Delta =-3m^2+2m+9$
• $\Delta <0$ pour $m\in \left]-\infty ,\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\right[\cup \left]\frac{1+2\sqrt{7}}{3},+\infty \right[$
• $f(x)>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ si et seulement si $m$ appartient à ce même ensemble.