Probabilités & dénombrement 2BAC SE

Étape 1 – Probabilités de $A$ et de $B$.

L'urne contient $12$ boules dont $5$ rouges et $7$ vertes. Le tirage se fait avec remise, donc l'urne est identique avant chaque tirage.

La première boule est rouge avec la probabilité : $$P(A)=\frac{5}{12}.$$

Comme la boule est remise, la seconde boule est verte avec la probabilité : $$P(B)=\frac{7}{12}.$$

Étape 2 – Nature des deux tirages.

Le tirage se fait avec remise : après le premier tirage, la boule est replacée dans l'urne et celle-ci retrouve sa composition initiale ($5$ rouges, $7$ vertes).

Le résultat du second tirage ne dépend donc pas du résultat du premier : les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Étape 3 – Calcul de $P(A\cap B)$. [ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

On veut la probabilité de tirer une boule rouge puis une boule verte, c'est-à-dire $P(A\cap B)$.

Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, deux événements indépendants ne peuvent pas se produire en même temps, donc ils sont incompatibles : $A\cap B=\varnothing$. On en déduit : $$P(A\cap B)=0.$$

Étape 4 – Conclusion (avec le résultat de l'étape 3).

D'après l'étape précédente, la probabilité de tirer une rouge puis une verte serait : $$P(A\cap B)=0.$$

Cela signifierait qu'il est impossible d'obtenir 'rouge puis verte', ce qui est manifestement absurde puisque ce scénario est tout à fait réalisable.