Probabilités & dénombrement 2BAC SE

Étape 1 – Traduction des données.

'$4\%$ de la population est malade' donne $P(M)=0,04$.

'Parmi les personnes malades, $90\%$ ont un test positif' se traduit par la probabilité conditionnelle $P(T\mid M)=0,90$.

Enfin $P(T)=0,12$.

Étape 2 – Probabilité de l'intersection $M\cap T$.

On utilise la définition de la probabilité conditionnelle : $$P(T\mid M)=\frac{P(M\cap T)}{P(M)}⟹P(M\cap T)=P(T\mid M)\cdot P(M).$$

D'où : $$P(M\cap T)=0,90\times 0,04=0,036.$$

Étape 3 – Calcul de $P(M\mid T)$. [ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

On cherche la probabilité que la personne soit malade sachant que le test est positif.

Par définition : $$P(M\mid T)=\frac{P(M\cap T)}{P(M)}=\frac{0,036}{0,04}=0,9.$$

Étape 4 – Conclusion (avec le résultat de l'étape 3).

La probabilité qu'une personne au test positif soit malade serait alors de $0,9$, soit $90\%$.