Probabilités & dénombrement 2BAC SE

Étape 1 – Loi de $X$.

On répète $5$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli : 'la réponse est correcte' (succès) ou non (échec).

La probabilité de succès à chaque question est $p=\frac{1}{4}$ (une bonne réponse parmi $4$).

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres : $$X\sim \mathcal{B}\left(n=5,p=\frac{1}{4}\right).$$

Étape 2 – Formule de la loi binomiale.

Pour $X\sim \mathcal{B}(n,p)$, la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès est : $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}.$$

Ici $n=5$, $p=\frac{1}{4}$, $1-p=\frac{3}{4}$ et $k=2$.

Étape 3 – Calcul de $P(X=2)$. [ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

On remplace dans la formule, en calculant la probabilité d'une suite particulière de $2$ succès et $3$ échecs : $$P(X=2)={\left(\frac{1}{4}\right)}^2{\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{1}{16}\times \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}.$$

Étape 4 – Conclusion (avec le résultat de l'étape 3).

La probabilité d'obtenir exactement $2$ bonnes réponses serait alors : $$P(X=2)=\frac{27}{1024}\approx 0,026.$$