Probabilités 2BAC SM

Étape 1 – Description des événements et calcul des probabilités.

L'univers est $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, de cardinal $|\Omega |=10$. Chaque boule est équiprobable, donc $P(\{k\})=\frac{1}{10}$ pour tout $k$.

• $A$ : multiples de 3 dans $\{1,\dots ,10\}$ : $A=\{3,6,9\}$, donc $P(A)=\frac{3}{10}$.
• $B$ : multiples de 4 dans $\{1,\dots ,10\}$ : $B=\{4,8\}$, donc $P(B)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$.
• $C$ : nombres pairs dans $\{1,\dots ,10\}$ : $C=\{2,4,6,8,10\}$, donc $P(C)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Étape 2 – Incompatibilité de $A$ et $B$, calcul de $P(A\cup B)$.

On cherche $A\cap B$ : il faudrait un entier entre 1 et 10 qui soit à la fois multiple de 3 et multiple de 4, c'est-à-dire multiple de $\text{ppcm}(3,4)=12$. Or $12>10$, donc $$A\cap B=\varnothing .$$

Les événements $A$ et $B$ sont donc incompatibles.

Par la formule d'additivité : $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$

Étape 3 – Indépendance de $A$ et $B$. [ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

On vient de montrer que $A\cap B=\varnothing$, ce qui signifie que $A$ et $B$ n'ont aucun résultat en commun : ils sont totalement disjoints.

Puisque $A$ et $B$ « n'ont rien en commun », la réalisation de l'un ne peut pas influencer l'autre. On conclut donc que :

$A$ et $B$ sont indépendants.

En effet, $P(A\cap B)=0$, et comme les événements sont disjoints, cette valeur nulle traduit précisément l'absence de lien entre eux, ce qui est la définition de l'indépendance.

Étape 4 – Calcul de $P(A\cap C)$ et $P(A\mid C)$.

On cherche $A\cap C$ : les boules qui sont à la fois multiples de 3 et paires, c'est-à-dire multiples de $\text{ppcm}(3,2)=6$. Dans $\{1,\dots ,10\}$ : $A\cap C=\{6\}$.

Donc : $$P(A\cap C)=\frac{1}{10}.$$

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $C$ est : $$P(A\mid C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{10}\times 2=\frac{1}{5}.$$

Étape 5 – Indépendance de $A$ et $C$.

Pour que $A$ et $C$ soient indépendants, il faut vérifier que $P(A\cap C)=P(A)\cdot P(C)$.

On calcule : $$P(A)\cdot P(C)=\frac{3}{10}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{20}.$$

Or $P(A\cap C)=\frac{1}{10}=\frac{2}{20}$.

Comme $\frac{2}{20}\ne \frac{3}{20}$, on a $P(A\cap C)\ne P(A)\cdot P(C)$.

On peut aussi vérifier : $P(A\mid C)=\frac{1}{5}=\frac{2}{10}\ne \frac{3}{10}=P(A)$.

$A$ et $C$ ne sont pas indépendants.