Probabilités 2BAC SM

Étape 1 — Probabilités individuelles.

L'univers est $\Omega =\{1,2,3,4\}$, chaque issue ayant la probabilité $\frac{1}{4}$.

• $A=\{1,2\}$, donc $P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
• $B=\{1,3\}$, donc $P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
• $C=\{1,4\}$, donc $P(C)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Étape 2 — Intersections deux à deux et indépendance par paires.

On détermine les intersections :

• $A\cap B=\{1,2\}\cap \{1,3\}=\{1\}$, donc $P(A\cap B)=\frac{1}{4}$.
• $A\cap C=\{1,2\}\cap \{1,4\}=\{1\}$, donc $P(A\cap C)=\frac{1}{4}$.
• $B\cap C=\{1,3\}\cap \{1,4\}=\{1\}$, donc $P(B\cap C)=\frac{1}{4}$.

On vérifie l'indépendance deux à deux :

• $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(A\cap B)$ ✓
• $P(A)\cdot P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(A\cap C)$ ✓
• $P(B)\cdot P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(B\cap C)$ ✓

Les trois conditions d'indépendance deux à deux sont satisfaites : $A$, $B$, $C$ sont deux à deux indépendants.

Étape 3 — Triple intersection.

On calcule :

Donc $P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{4}$.

Étape 4 — Conclusion sur l'indépendance mutuelle.

Trois événements $A$, $B$, $C$ sont mutuellement indépendants si et seulement si ils sont deux à deux indépendants.

Or nous avons montré à l'étape 2 que :

Les trois conditions d'indépendance par paires étant vérifiées, on conclut que $A$, $B$, $C$ sont mutuellement indépendants.

Étape 5 — Synthèse.

En résumé : le dé à 4 faces fournit un exemple d'événements deux à deux indépendants et, d'après la conclusion de l'étape 4, mutuellement indépendants. On peut donc utiliser la formule $P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$ pour tout calcul ultérieur impliquant ces trois événements.