Suites numériques 1BAC SM

Étape 1 – Stabilité de l'intervalle $\left]0;2\right[$

Supposons $u_n\in \left]0;2\right[$. On a $u_n>0$ donc $u_n+1>1>0$, ce qui garantit que $u_{n+1}$ est bien défini.

Montrons $u_{n+1}>0$ : puisque $u_n>0$ et $u_n+1>0$, on a $\frac{u_n}{2}>0$ et $\frac{1}{u_n+1}>0$, donc $u_{n+1}>0$.

Montrons $u_{n+1}<2$ : on calcule

$$u_{n+1}-2=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n+1}-2=\frac{u_n(u_n+1)+2-4(u_n+1)}{2(u_n+1)}=\frac{u_n^2-3u_n-2}{2(u_n+1)}$$

Or $u_n\in \left]0;2\right[$ donc $u_n^2<4$, $3u_n>0$, donc $u_n^2-3u_n-2<4-0-2=2$… Affinons : posons $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x+1}$. On a $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Sur $\left]0;2\right[$, $(x+1{)}^2>1$ donc $f^{\prime }(x)>0$ : $f$ est croissante. Ainsi $f(x)<f(2)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}<2$.

Par récurrence (initialisation : $u_0=\frac{1}{2}\in \left]0;2\right[$), on conclut que $u_n\in \left]0;2\right[$ pour tout $n\ge 0$.

Étape 2 – La suite est majorée par $2$

D'après l'étape 1, on a $u_n<2$ pour tout $n\ge 0$. La suite $(u_n)$ est donc majorée par $2$.

De même, $u_n>0$ pour tout $n\ge 0$, donc la suite est aussi minorée par $0$. La suite $(u_n)$ est ainsi bornée.

Étape 3 – Convergence de la suite (ÉTAPE FAUSSE)

On vient de montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $2$ et minorée par $0$, donc elle est bornée.

Or, toute suite bornée est convergente. On peut donc affirmer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \in [0;2]$.

Étape 4 – Calcul de la limite $\ell$

Puisque (d'après l'étape 3) la suite converge vers $\ell$, on passe à la limite dans la relation de récurrence :

$$\ell =\frac{\ell }{2}+\frac{1}{\ell +1}$$

$$\ell -\frac{\ell }{2}=\frac{1}{\ell +1}⟹\frac{\ell }{2}=\frac{1}{\ell +1}⟹\ell (\ell +1)=2⟹{\ell }^2+\ell -2=0$$

On factorise : ${\ell }^2+\ell -2=(\ell -1)(\ell +2)=0$, donc $\ell =1$ ou $\ell =-2$.

Comme $\ell \in [0;2]$, on retient $\ell =1$.

On conclut : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$.

Étape 5 – Vérification (ce qu'il aurait fallu faire à l'étape 3)

Pour être rigoureux, calculons $u_{n+1}-u_n$ :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n+1}-u_n=-\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n+1}=\frac{-u_n(u_n+1)+2}{2(u_n+1)}=\frac{-u_n^2-u_n+2}{2(u_n+1)}$$

On factorise le numérateur : $-u_n^2-u_n+2=-(u_n^2+u_n-2)=-(u_n-1)(u_n+2)$.

Puisque $u_n\in \left]0;2\right[$, on a $u_n+2>0$ et $u_n+1>0$. De plus, si $u_n<1$ alors $u_n-1<0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$… L'étude complète montre que la suite n'est pas nécessairement monotone sur tout $\mathbb{N}$ sans information supplémentaire sur le signe de $u_n-1$. C'est pourquoi la borne seule ne suffisait pas à conclure à la convergence.