Suites numériques 1BAC SM

Étape 1 — Positivité de $u_n$ pour tout $n\ge 0$.

On procède par récurrence.

Initialisation : $u_0=3>0$. ✓

Hérédité : Supposons $u_n>0$ pour un certain $n\ge 0$. Alors :

$$u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n}$$

Le numérateur $u_n^2+2\ge 2>0$ et le dénominateur $2u_n>0$ par hypothèse de récurrence. Donc $u_{n+1}>0$.

Par le principe de récurrence, $u_n>0$ pour tout $n\ge 0$. $■$

Étape 2 — Minoration par $\sqrt{2}$ pour tout $n\ge 1$.

Pour $n\ge 1$, on écrit (en utilisant $u_{n-1}>0$ établi à l'étape 1) :

$$u_n-\sqrt{2}=\frac{u_{n-1}^2+2}{2u_{n-1}}-\sqrt{2}=\frac{u_{n-1}^2+2-2\sqrt{2}{u}_{n-1}}{2u_{n-1}}=\frac{(u_{n-1}-\sqrt{2}{)}^2}{2u_{n-1}}$$

Puisque $(u_{n-1}-\sqrt{2}{)}^2\ge 0$ et $2u_{n-1}>0$, on conclut que $u_n-\sqrt{2}\ge 0$, c'est-à-dire $u_n\ge \sqrt{2}$ pour tout $n\ge 1$. $■$

Étape 3 — Décroissance de $(u_n)$ à partir du rang $1$.

Pour $n\ge 1$, on calcule :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2+2}{2u_n}-u_n=\frac{u_n^2+2-2u_n^2}{2u_n}=\frac{2-u_n^2}{2u_n}$$

Or, pour $n\ge 1$, on a $u_n\ge \sqrt{2}$, donc $u_n^2\ge 2$, ce qui donne $2-u_n^2\le 0$. De plus $2u_n>0$. Donc :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0$$

La suite $(u_n)$ est donc décroissante à partir du rang $1$. $■$

Étape 4 — Convergence et calcul de la limite. [ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$ et minorée par $\sqrt{2}>0$.

Calcul de la limite : Supposons que $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$. En passant à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n}$, on obtient :

$$\ell =\frac{{\ell }^2+2}{2\ell }$$

soit $2{\ell }^2={\ell }^2+2$, donc ${\ell }^2=2$, d'où $\ell =\sqrt{2}$ ou $\ell =-\sqrt{2}$.

Puisque $u_n>0$ pour tout $n$, on a nécessairement $\ell \ge 0$, donc $\ell =\sqrt{2}$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ converge et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\sqrt{2}$.