Suites numériques 1BAC SM

Étape 1 — Calcul de $u_2$ et $u_3$, conjecture.

On a $u_1=2$. La relation de récurrence donne :

$$u_2=\frac{3\times 2+2}{2+2}=\frac{8}{4}=2$$

Hmm, recalculons avec $u_1=2$ :

$$u_2=\frac{3(2)+2}{2+2}=\frac{8}{4}=2$$

Prenons plutôt $u_1=\frac{3}{2}$ pour avoir un exemple plus riche... Non, l'énoncé donne $u_1=2$, donc $u_2=2$ et par la même relation $u_3=2$. La suite semble constante égale à $2$. On conjecture que pour tout $n\ge 1$ : $1\le u_n\le 2$.

Remarque : $u_1=2$ vérifie bien $1\le 2\le 2$. La conjecture est plausible.

Étape 2 — Initialisation de la récurrence.

On veut démontrer par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $1\le u_n\le 2$ » pour tout $n\ge 1$.

Initialisation à $n=0$ : On vérifie $\mathcal{P}(0)$.

Or $u_0$ n'est pas défini par l'énoncé ; la suite commence à $n=1$. On se contente donc de noter que $u_1=2$ et que $1\le 2\le 2$, ce qui est vrai. L'initialisation est ainsi considérée comme acquise.

Étape 3 — Hérédité de la récurrence.

Supposons que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $n\ge 1$, c'est-à-dire $1\le u_n\le 2$. Montrons $\mathcal{P}(n+1)$ : $1\le u_{n+1}\le 2$.

On a $u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}$.

Minoration : Puisque $u_n\ge 1$, on a $3u_n+2\ge 5$ et $u_n+2\le 4$, donc :

$$u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}\ge \frac{3(1)+2}{1+2}=\frac{5}{3}>1$$

Donc $u_{n+1}\ge 1$. ✓

Majoration : On calcule $u_{n+1}-2=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-2=\frac{3u_n+2-2(u_n+2)}{u_n+2}=\frac{u_n-2}{u_n+2}$.

Puisque $u_n\le 2$, on a $u_n-2\le 0$ et $u_n+2>0$, donc $u_{n+1}-2\le 0$, c'est-à-dire $u_{n+1}\le 2$. ✓

L'hérédité est démontrée. Par le principe de récurrence, $1\le u_n\le 2$ pour tout $n\ge 1$.

Étape 4 — Monotonie de $(u_n)$.

On calcule $u_{n+1}-1$ :

$$u_{n+1}-1=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-1=\frac{3u_n+2-(u_n+2)}{u_n+2}=\frac{2u_n}{u_n+2}$$

Hmm, l'énoncé demande $u_{n+1}-1=\frac{2(u_n-1)}{u_n+2}$. Vérifions :

$$\frac{2(u_n-1)}{u_n+2}=\frac{2u_n-2}{u_n+2}$$

et $u_{n+1}-1=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-1=\frac{3u_n+2-u_n-2}{u_n+2}=\frac{2u_n}{u_n+2}$.

On constate que $\frac{2u_n}{u_n+2}\ne \frac{2(u_n-1)}{u_n+2}$ en général. Étudions plutôt la monotonie via $u_{n+1}-u_n$ :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+2}{u_n+2}-u_n=\frac{3u_n+2-u_n(u_n+2)}{u_n+2}=\frac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\frac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}$$

On factorise le numérateur : $-u_n^2+u_n+2=-(u_n^2-u_n-2)=-(u_n-2)(u_n+1)$.

Puisque $1\le u_n\le 2$, on a $u_n-2\le 0$ et $u_n+1\ge 2>0$, donc $(u_n-2)(u_n+1)\le 0$, soit $-(u_n-2)(u_n+1)\ge 0$.

Ainsi $u_{n+1}-u_n\ge 0$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

Étape 5 — Convergence et limite.

La suite $(u_n)$ est croissante (étape 4) et majorée par $2$ (étape 3). D'après le théorème de la convergence monotone, $(u_n)$ converge.

Notons $\ell =\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$. En passant à la limite dans la relation $u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}$, on obtient :

$$\ell =\frac{3\ell +2}{\ell +2}$$

$$\ell (\ell +2)=3\ell +2⟹{\ell }^2+2\ell =3\ell +2⟹{\ell }^2-\ell -2=0$$

$$\Delta =1+8=9⟹\ell =\frac{1\pm 3}{2}$$

Donc $\ell =2$ ou $\ell =-1$. Puisque $u_n\ge 1$ pour tout $n\ge 1$, on a nécessairement $\ell \ge 1$, donc $\ell =2$.

$$\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2}$$