Suites numériques 2BAC SE

Étape 1 — Méthode.

Pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n\ge 1$.

Étape 2 — Expression de $u_{n+1}$.

On remplace $n$ par $n+1$ dans la formule :

$$u_{n+1}=\frac{(n+1)+2}{(n+1)+1}=\frac{n+3}{n+2}$$

Étape 3 — Calcul de la différence.

On réduit au même dénominateur :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{n+3}{n+2}-\frac{n+2}{n+1}=\frac{(n+3)(n+1)-(n+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$$

Développons le numérateur :

$$(n+3)(n+1)=n^2+4n+3,(n+2{)}^2=n^2+4n+4$$

Donc le numérateur vaut $(n^2+4n+3)-(n^2+4n+4)=-1$.

Ainsi :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{(n+2)(n+1)}$$

Étape 4 — Conclusion sur le signe.

Pour $n\ge 1$, le numérateur $-1$ est non nul et le dénominateur $(n+2)(n+1)$ est strictement positif. Le quotient d'un nombre négatif par un nombre positif est positif, donc :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{(n+2)(n+1)}>0$$

La différence $u_{n+1}-u_n$ étant positive, la suite $(u_n)$ est croissante.