Suites numériques 2BAC SE

Étape 1 — Encadrement $0\le u_n\le 6$ par récurrence.

Initialisation : $u_0=0$, donc $0\le u_0\le 6$. ✓

Hérédité : Supposons $0\le u_n\le 6$ pour un certain $n\ge 0$. Alors $0\le \frac{1}{2}{u}_n\le 3$, donc $3\le \frac{1}{2}{u}_n+3\le 6$, c'est-à-dire $3\le u_{n+1}\le 6$. En particulier $0\le u_{n+1}\le 6$.

Par récurrence, $0\le u_n\le 6$ pour tout $n\ge 0$. $■$

Étape 2 — Sens de variation.

On calcule la différence :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}{u}_n+3-u_n=3-\frac{1}{2}{u}_n=\frac{6-u_n}{2}$$

D'après l'étape 1, $u_n\le 6$, donc $6-u_n\ge 0$, et ainsi $u_{n+1}-u_n\ge 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

Étape 3 — Limite de la suite.

Comme $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$, en passant à la limite et en notant $\ell$ la limite de $(u_n)$, on obtient :

$$\ell =\frac{1}{2}\ell +3$$

soit $\ell -\frac{1}{2}\ell =3$, donc $\frac{1}{2}\ell =3$, d'où $\ell =6$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ converge et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=6$.