Thalès & Pythagore 3AC

Étape 1 — Calcul des distances.

On utilise la formule de la distance entre deux points : si $P(x_1;y_1)$ et $Q(x_2;y_2)$, alors $PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

$$AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(5-1{)}^2+(8-2{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

$$AM=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$AN=\sqrt{(7-1{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Étape 2 — Calcul et comparaison des rapports.

On calcule chaque rapport en utilisant les distances obtenues à l'étape 1 :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{5}{\sqrt{13}}$$

$$\frac{AN}{AC}=\frac{10}{2\sqrt{13}}=\frac{5}{\sqrt{13}}$$

On constate que $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{5}{\sqrt{13}}$$

Les deux rapports sont donc égaux.

Étape 3 — Application de la réciproque du théorème de Thalès.

On a établi que $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, puisque les rapports $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ sont égaux, on peut conclure que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Étape 4 — Calcul de $MN$ par le théorème de Thalès.

Puisque $(MN)\parallel (BC)$ (résultat admis à l'étape précédente), on applique le théorème de Thalès dans la configuration issue du point $A$ :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

On calcule d'abord $BC$ :

$$BC=\sqrt{(5-3{)}^2+(8-5{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

Donc :

$$MN=BC\times \frac{AM}{AB}=\sqrt{13}\times \frac{5}{\sqrt{13}}=5$$

On conclut que $MN=5$.