Thalès & Pythagore 3AC

Étape 1 – Identification de la configuration

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $M$. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles, et le point $M$ est situé entre ces deux parallèles (c'est-à-dire entre les segments $AC$ et $BD$).

On est donc dans la configuration de Thalès croisée (configuration « en papillon ») : les deux sécantes se coupent en un point intérieur aux parallèles.

Dans cette configuration, les deux triangles formés sont $$△MAC\text{et}△MBD.$$Ces deux triangles sont semblables (angles alternes-internes égaux car $(AC)\parallel (BD)$, et angles au sommet $M$ égaux car ils sont opposés par le sommet) :
$\widehat{MAC}=\widehat{MBD}$ (alternes-internes), $\widehat{MCA}=\widehat{MDB}$ (alternes-internes), $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (opposés par le sommet).

Donc $△MAC\sim △MBD$.

Étape 2 – Écriture des rapports de Thalès (étape contenant l'erreur)

Puisque $△MAC\sim △MBD$, la correspondance des sommets est $M\leftrightarrow M$, $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow D$.

On écrit donc les rapports des côtés homologues. En confondant avec la configuration classique, on pose :

c'est-à-dire, en regroupant les longueurs de la même sécante au numérateur et au dénominateur :

On substitue les valeurs connues $MA=3$, $MC=4$, $MB=5$ :

Étape 3 – Calcul de $x=MD$

On résout l'équation obtenue à l'étape précédente :

Donc $MD=\frac{20}{3}$ cm.

Étape 4 – Calcul de $BD$

La similitude $△MAC\sim △MBD$ donne également :

On substitue $MA=3$, $MB=5$, $AC=6$ :

Donc $BD=10$ cm.

Étape 5 – Vérification par le rapport $\frac{AC}{BD}$

Le rapport de similitude des deux triangles est :

On vérifie avec les côtés $MC$ et $MD$ : on devrait avoir $\frac{MC}{MD}=k=\frac{3}{5}$.

Or avec nos résultats : $\frac{MC}{MD}=\frac{4}{\frac{20}{3}}=\frac{4\times 3}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$. ✓

La vérification est cohérente avec les valeurs calculées.