Thalès & Pythagore 3AC

Étape 1 – Calcul de $AM$

Les points $M$ et $B$ sont sur le segment $[AB]$, avec $M$ entre $A$ et $B$. On a donc :

$$AM=AB-BM=15-9=6\text{ cm}$$

Ainsi $AM=6$ cm.

Étape 2 – Mise en place du théorème de Thalès

Puisque $MN\parallel BC$ et que $M\in [AB]$, $N\in [AC]$, le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ (avec la droite parallèle $MN$) donne :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

On calcule le rapport connu :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

Ce rapport est bien compris entre $0$ et $1$, ce qui est cohérent avec $M$ situé entre $A$ et $B$.

Étape 3 – Calcul de $AN$ (étape contenant l'erreur)

D'après l'égalité des rapports, on doit résoudre :

$$\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$$

On remplace $AC=12$ cm. Mais au lieu d'utiliser $AM=6$ cm et $AB=15$ cm, on confond et on écrit par erreur :

$$\frac{AN}{AC}=\frac{BM}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$$

On utilise donc $BM=9$ cm au numérateur au lieu de $AM=6$ cm, sans remarquer que $BM/AB$ n'est pas le bon rapport (ce n'est pas $AM/AB$).

On en déduit :

$$AN=\frac{3}{5}\times AC=\frac{3}{5}\times 12=\frac{36}{5}=7,2\text{ cm}$$

Étape 4 – Calcul de $NC$

On utilise le résultat (faux) $AN=7,2$ cm :

$$NC=AC-AN=12-7,2=4,8\text{ cm}$$

Ainsi $NC=4,8$ cm.

Étape 5 – Calcul de $MN$ et vérification

On applique la formule donnée dans l'énoncé avec le rapport (faux) $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$ (tel qu'utilisé à l'étape 3) :

$$MN=\frac{3}{5}\times BC=\frac{3}{5}\times 10=6\text{ cm}$$

On vérifie :

$$\frac{MN}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

Ce rapport est égal à $\frac{AN}{AC}=\frac{7,2}{12}=\frac{3}{5}$, donc les rapports sont bien égaux entre eux — la solution semble cohérente en interne, mais elle repose sur un rapport erroné.