Trigonométrie 1BAC SM

Calcul de $r$.

On identifie $a=-\sqrt{3}$ et $b=1$, de sorte que :

Donc $r=2$.

Calcul de $\phi$.

On cherche $\phi \in [0,2\pi [$ tel que $\cos \phi =\frac{a}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \phi =\frac{b}{r}=\frac{1}{2}$.

L'élève applique directement la formule $\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$ :

Comme $\phi$ doit appartenir à $[0,2\pi [$, on prend $\phi =-\frac{\pi }{6}+2\pi$, ce qui donne :

Ainsi $f(x)=2\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)$.

Valeurs de $k$ pour lesquelles $E$ admet des solutions.

L'équation $2\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)=k$ admet des solutions si et seulement si :

(Ce résultat est indépendant de la valeur de $\phi$, donc il reste valide.)

Résolution de $E$ pour $k=1$.

L'équation devient :

Or $\cos \theta =\frac{1}{2}⟺\theta =\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Cas 1 : $x-\frac{11\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹x=\frac{11\pi }{6}+\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{11\pi +2\pi }{6}+2k\pi =\frac{13\pi }{6}+2k\pi$.

Dans $[0,2\pi [$ : pour $k=-1$, $x=\frac{13\pi }{6}-2\pi =\frac{\pi }{6}$. ✓

Cas 2 : $x-\frac{11\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹x=\frac{11\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{11\pi -2\pi }{6}+2k\pi =\frac{9\pi }{6}+2k\pi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$.

Dans $[0,2\pi [$ : pour $k=0$, $x=\frac{3\pi }{2}$. ✓

Les solutions dans $[0,2\pi [$ sont donc $\left\{\frac{\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}$.

Résolution de l'inéquation $f(x)\ge 1$ sur $[0,2\pi [$.

On résout $2\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)\ge 1⟺\cos \left(x-\frac{11\pi }{6}\right)\ge \frac{1}{2}$.

On sait que $\cos \theta \ge \frac{1}{2}⟺\theta \in \left[-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi \right]$, $k\in \mathbb{Z}$.

Donc : $-\frac{\pi }{3}+2k\pi \le x-\frac{11\pi }{6}\le \frac{\pi }{3}+2k\pi$

Dans $[0,2\pi [$ (en prenant $k=0$ et $k=-1$ selon les bornes) :

• Pour $k=0$ : $\frac{3\pi }{2}\le x$ et $x\le \frac{13\pi }{6}>2\pi$, donc $x\in \left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right[$.
• Pour $k=-1$ : $\frac{3\pi }{2}-2\pi =-\frac{\pi }{2}\le x$ et $x\le \frac{13\pi }{6}-2\pi =\frac{\pi }{6}$, donc $x\in \left[0,\frac{\pi }{6}\right]$.

L'ensemble solution est $\left[0,\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right[$.