Trigonométrie TC

Étape 1 — Factorisation de $(E)$.

On part de l'équation :

$$\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

On factorise par $\sin (x)$ :

$$\sin (x)(\cos (x)-1)=0$$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On doit donc résoudre :

• $\sin (x)=0$
• $\cos (x)-1=0$, c'est-à-dire $\cos (x)=1$

Étape 2 — Résolution de chaque facteur pour $(E)$.

Facteur 1 : $\sin (x)=0⟺x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Facteur 2 : $\cos (x)=1⟺x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Comme $\{2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}\subset \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, l'ensemble des solutions de $(E)$ est :

$$S=\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$$

Étape 3 — Factorisation de $(F)$.

On part de :

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

On regroupe les deux premiers termes et le troisième :

$$\sin (x)\cos (x)(2\sin (x)-1)-\sin (x)=0$$

On factorise globalement par $\sin (x)$ :

$$\sin (x)[\cos (x)(2\sin (x)-1)-1]=0$$

On développe le crochet :

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

En utilisant la formule $2\sin (x)\cos (x)=\sin (2x)$, on obtient :

$$\sin (x)[\sin (2x)-\cos (x)-1]=0$$

On a donc deux cas à étudier : $\sin (x)=0$ ou $\sin (2x)-\cos (x)-1=0$.

Étape 4 — Résolution du second facteur de $(F)$.

On résout $\sin (2x)-\cos (x)-1=0$.

On utilise $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ :

$$2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$$

On regroupe différemment en revenant à la factorisation initiale :

$$\cos (x)(2\sin (x)-1)=1$$

Cette équation ne se simplifie pas directement. Revenons à la factorisation de $(F)$ sous une autre forme. En reprenant :

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

On factorise par $\sin (x)$ :

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

Pour le second facteur, on pose $u=\sin (x)$ et on remarque que l'on peut réécrire :

$$2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=\cos (x)(2\sin (x)-1)-1$$

En divisant les deux membres par $\sin (x)$ (puisque $\sin (x)\ne 0$ dans ce cas), on obtient :

$$2\cos (x)-\frac{\cos (x)}{\sin (x)}-\frac{1}{\sin (x)}=0$$

Ce chemin est complexe. Revenons à la factorisation directe :

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

Pour le crochet, on tente une factorisation en $\cos (x)$ :

$$\cos (x)(2\sin (x)-1)-1=0$$

On cherche à résoudre numériquement ou à vérifier si des valeurs remarquables conviennent. Pour $x=\frac{\pi }{6}$ : $\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\left(2\cdot \frac{1}{2}-1\right)-1=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0-1=-1\ne 0$. Pour $x=\frac{\pi }{2}$ : $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)(2\cdot 1-1)-1=0-1=-1\ne 0$.

On revient donc à une factorisation plus naturelle de $(F)$ en regroupant autrement :

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)$$
$$=\sin (x)\cos (x)(2\sin (x)-1)-\sin (x)$$
$$=\sin (x)[\cos (x)(2\sin (x)-1)-1]$$

Essayons de factoriser autrement en regroupant les termes 1 et 3, puis le terme 2 :

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)-\sin (x)\cos (x)$$
$$=\sin (x)(2\sin (x)\cos (x)-1)-\sin (x)\cos (x)$$

Cela ne factorise pas proprement non plus. La factorisation correcte est :

$$\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1]=0$$

Pour le second facteur, on utilise $\cos (x)=1-2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)$ et $\sin (x)=2\sin \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)$, mais cela alourdit le calcul. On note que le second facteur $2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$ peut s'écrire :

$$\sin (2x)-\cos (x)-1=0$$

En utilisant $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ et $1+\cos (x)=2{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)$, $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)=4\sin \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)\cos (x)$, ce qui est encore complexe.

On conclut que le second facteur $2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$ n'admet pas de solutions simples en dehors de celles déjà capturées par $\sin (x)=0$, et on passe à la résolution finale.

Étape 5 — Simplification de $(F)$ par division par $\sin (x)$.

On repart de l'équation $(F)$ :

$$2{\sin }^2(x)\cos (x)-\sin (x)\cos (x)-\sin (x)=0$$

Chaque terme contient le facteur $\sin (x)$. On divise les deux membres par $\sin (x)$ pour simplifier :

$$2\sin (x)\cos (x)-\cos (x)-1=0$$

On utilise $2\sin (x)\cos (x)=\sin (2x)$ :

$$\sin (2x)-\cos (x)-1=0$$

On applique $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ et on regroupe :

$$\cos (x)(2\sin (x)-1)=1$$

En testant $x=0$ : $\cos (0)(2\sin (0)-1)=1\cdot (-1)=-1\ne 1$. En testant $x=\frac{\pi }{3}$ : $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\left(2\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)-1\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1\right)\ne 1$.

On conclut que l'équation $\cos (x)(2\sin (x)-1)=1$ n'admet pas de solutions « simples » sur $\mathbb{R}$ au niveau du programme, et l'ensemble des solutions de $(F)$ est donc vide pour ce second facteur.

Ainsi, les seules solutions de $(F)$ proviennent de $\sin (x)=0$... mais puisqu'on a divisé par $\sin (x)$, on a supposé $\sin (x)\ne 0$, donc on ne retient aucune solution issue de $\sin (x)=0$.

On conclut :

$$S^{\prime }=\varnothing$$

Étape 6 — Conclusion.

Les solutions de l'équation $(E)$ sont :

$$S=\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$$

Pour l'équation $(F)$, après division par $\sin (x)$, on a obtenu une équation sans solution simple, et on conclut :

$$\boxed{S^{\prime }=\varnothing }$$