Principe d'inclusion-exclusion et dérrangements

Un dérangement de $\{1,2,\dots ,n\}$ est une permutation $\sigma$ telle que $\sigma (i)\ne i$ pour tout $i$.

1. Soit $D_n$ le nombre de dérangements de $\{1,\dots ,n\}$. Montrer que :
   $D_n=n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$
2. Établir la récurrence $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$ pour $n\ge 2$.
3. Calculer $D_3$ et $D_4$, et montrer que $D_n/n!\to 1/e$ quand $n\to \infty$.