OMM 2022 — Problème 1 : Combinatoire sur les entiers

On dispose de n jetons numérotés de 1 à n placés en cercle (n ≥ 3).

Une opération consiste à choisir 3 jetons consécutifs a, b, c (b entre a et c) et à remplacer b par a + c − b.

1. Appliquer cette opération sur le jeton numéro 4 dans la configuration 3, 4, 7. Quel est le nouveau numéro ?
2. Montrer que la somme de tous les jetons est conservée par chaque opération.
3. Montrer que pour n = 5 avec les jetons 1, 2, 3, 4, 5, on ne peut jamais obtenir la configuration 1, 2, 3, 4, 6.