Dérivation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: تقيس المشتقة تغيرًا لحظيًا: التكلفة الهامشية، سرعة نمو كمية اقتصادية.

I. العدد المشتق

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $I$ يحتوي على $a$ . نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

تسمى هذه النهاية العدد المشتق للدالة $f$ عند $a$ .

بطريقة مكافئة، بوضع $h = x - a$ :

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

التفسير الهندسي

$f^{'} (a)$ هو معامل التوجيه للمماس للمنحنى $C_{f}$ عند النقطة ذات الفاصلة $a$ .

معادلة المماس

$T_{a} : y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

II. الدالة المشتقة

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من مجال $I$ ، فإن الدالة التي تربط كل $x \in I$ بـ $f^{'} (x)$ تسمى الدالة المشتقة للدالة $f$ ، ويرمز لها بـ $f^{'}$ .

III. جدول المشتقات الاعتيادية

الدالة $f (x)$	المشتقة $f^{'} (x)$	مجال القابلية للاشتقاق
$k$ (ثابت)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$
$sin x$	$cos x$	$R$
$cos x$	$- sin x$	$R$
$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$	$R ∖ {π /2 + k π}$

IV. قواعد الاشتقاق

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على $I$ ، و $k$ ثابت.

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
$(k u)^{'} = k u^{'}$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (إذا كان $v \neq = 0$ )
$(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n \cdot u^{n - 1} \cdot u^{'}$ (دالة قوة مركبة)
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (إذا كان $u > 0$ )

V. العلاقة بين المشتقة واتجاه التغير

المبرهنة الأساسية

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ :

إذا كان $f^{'} (x) > 0$ على $I$ (باستثناء عدد منته من النقاط)، فإن $f$ متزايدة تزايدًا تامًا على $I$ .
إذا كان $f^{'} (x) < 0$ على $I$ (باستثناء عدد منته من النقاط)، فإن $f$ متناقصة تناقصًا تامًا على $I$ .
إذا كان $f^{'} (x) = 0$ على $I$ ، فإن $f$ ثابتة على $I$ .

جدول التغيرات

لدراسة تغيرات $f$ :

تحديد مجموعة التعريف $D_{f}$ .
حساب $f^{'} (x)$ .
دراسة إشارة $f^{'} (x)$ .
إنشاء جدول التغيرات.

VI. القيم الحدية

شرط ضروري

إذا كان لـ $f$ قيمة حدية محلية عند $x_{0}$ (نقطة داخلية من المجال) وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $x_{0}$ ، فإن $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

تنبيه: العكس خاطئ. $f^{'} (x_{0}) = 0$ لا يعني بالضرورة قيمة حدية (مثال: $f (x) = x^{3}$ عند $x = 0$ ).

معيار عملي

تقبل $f$ قيمة حدية عند $x_{0}$ إذا غيرت $f^{'}$ إشارتها عند $x_{0}$ :

$f^{'}$ تنتقل من موجب إلى سالب ← قيمة عظمى
$f^{'}$ تنتقل من سالب إلى موجب ← قيمة صغرى

VII. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

نص المسألة: لتكن $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ .
1) احسب $f^{'} (x)$ وادرس إشارتها.
2) أنشئ جدول تغيرات $f$ .
3) حدد معادلة المماس لـ $C_{f}$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$ .

الحل:

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ .
$f^{'} (x) > 0$ على $] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$ ، $f^{'} (x) < 0$ على $] - 1, 1 [$ .

2) الجدول:
- $f$ متزايدة على $] - \infty, - 1]$
- $f$ متناقصة على $[- 1, 1]$
- $f$ متزايدة على $[1, + \infty [$
قيمة عظمى محلية عند $- 1$ : $f (- 1) = - 1 + 3 + 2 = 4$ .
قيمة صغرى محلية عند $1$ : $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

3) $f (1) = 0$ و $f^{'} (1) = 0$ . المماس: $y = 0 (x - 1) + 0 = 0$ . إنه محور الفواصل.

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين $(uv)^{'}$ و $u^{'} v^{'}$ . القاعدة الصحيحة: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
الخلط بين $(\frac{u}{v})^{'}$ و $\frac{u ^{'}}{v ^{'}}$ . القاعدة الصحيحة: $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
نسيان $u^{'}$ في مشتقة دالة مركبة $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ (وليس فقط $n u^{n - 1}$ ).
الاعتقاد بأن $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇒ قيمة حدية. خاطئ. يجب أن يكون هناك تغيير في إشارة $f^{'}$ .
نسيان مجال القابلية للاشتقاق. مثلاً $x$ غير قابلة للاشتقاق عند 0.
الخلط بين الرتابة التامة والرتابة. تامة: $f^{'} (x) > 0$ . واسعة: $f^{'} (x) \geq 0$ .

📈 Figure clé

Tangente à la courbe

🔑 Formules clés à retenir

العدد المشتق:

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

المماس عند $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

المشتقات الاعتيادية:

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(sin x)^{'} = cos x$ ، $(cos x)^{'} = - sin x$

القواعد:

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$

التغير: إشارة $f^{'}$

القيمة الحدية: تغيير إشارة $f^{'}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 قبل الاشتقاق، بسّط التعبير إن أمكن (إخراج عامل مشترك، متطابقة هامة). هذا يتجنب حسابات ثقيلة.
🎯 لدراسة إشارة $f^{'} (x)$ التي تحتوي على تعبير معقد: ضع $f^{'} (x) = 0$ وحل، ثم أنشئ جدول إشارات.
🎯 لا تنسَ أبدًا $u^{'}$ في الدوال المركبة. إنه الخطأ رقم 1 في هذا الفصل.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاشتقاق

النوع 1: حساب العدد المشتق بواسطة معدل التزايد

متى؟ عندما يُطلب $f^{'} (a)$ بالتعريف (انطلاقاً من النهاية)، دون استخدام الصيغ.

اكتب معدل التزايد: $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ (أو $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ ).
بسّط العبارة (غالباً شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ يُرفع بالتحليل إلى جداء).
احسب النهاية عندما $x \to a$ (أو $h \to 0$ ).
استنتج: هذه النهاية هي $f^{'} (a)$ ، العدد المشتق للدالة $f$ عند $a$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = x^{2}$ عند $a = 3$ : $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3 \to 6$ ، إذن $f^{'} (3) = 6$ .

النوع 2: الاشتقاق بالصيغ الاعتيادية

متى؟ عندما يُطلب مشتقة دالة مبنية انطلاقاً من الدوال المرجعية.

حدد الشكل: $x^{n}$ ، $x$ ، $\frac{1}{x}$ ، ثابت.
طبّق مشتقات الدرس: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ، $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ ، $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .
بالنسبة لمجموع: اشتق حداً بحد. بالنسبة لـ $k \cdot f$ : $(k f)^{'} = k f^{'}$ .

مثال سريع: $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2 \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x - 5$ .

النوع 3: اشتقاق جداء أو خارج قسمة

متى؟ الدالة عبارة عن جداء $u v$ أو خارج قسمة $\frac{u}{v}$ لعبارتين بدلالة $x$ .

حدد بوضوح $u$ و $v$ ، ثم احسب $u^{'}$ و $v^{'}$ .
جداء: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
خارج قسمة: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
انشر وبسّط النتيجة.

مثال سريع: $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ : $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

النوع 4: تحديد معادلة المماس

متى؟ عندما يُطلب معادلة المماس للمنحنى عند نقطة فاصلتها $a$ .

احسب $f (a)$ (إحداثية نقطة التماس).
احسب $f^{'} (x)$ ثم $f^{'} (a)$ (المعامل الموجه).
طبّق الصيغة: $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
انشر للحصول على الشكل $y = m x + p$ .

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ عند $a = 1$ : $f (1) = 1$ ، $f^{'} (1) = 2$ ، إذن $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

النوع 5: دراسة إشارة المشتقة والتغيرات

متى؟ عندما يُطلب اتجاه تغير $f$ على مجال.

احسب $f^{'} (x)$ .
ادرس إشارة $f^{'} (x)$ (حلل إلى جداء، حل $f^{'} (x) = 0$ ، أنجز جدول إشارات).
طبّق القاعدة: $f^{'} > 0 \Rightarrow f$ متزايدة؛ $f^{'} < 0 \Rightarrow f$ متناقصة.
أنجز جدول التغيرات.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} - 4 x$ : $f^{'} (x) = 2 x - 4$ ، موجبة عندما $x > 2$ : $f$ متناقصة على $] - \infty, 2]$ ، متزايدة على $[2, + \infty [$ .

النوع 6: تحديد قيمة قصوى (أعظمية / أصغرية)

متى؟ عندما نبحث عن القيمة التي تبلغ عندها $f$ أعظمية أو أصغرية (مفيد جداً في الاقتصاد: تكلفة، ربح).

احسب $f^{'} (x)$ وحل المعادلة $f^{'} (x) = 0$ .
ادرس إشارة $f^{'}$ على جانبي الحل $x_{0}$ .
إذا تغيرت $f^{'}$ من $+$ إلى $-$ : أعظمية عند $x_{0}$ . من $-$ إلى $+$ : أصغرية عند $x_{0}$ .
احسب قيمة القيمة القصوى $f (x_{0})$ .

مثال سريع: $f (x) = - x^{2} + 6 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ ؛ أعظمية $f (3) = 9$ .

Dérivation — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

19 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 19 corrigés

Exercices Faciles

8 exercices

Dérivée d'un polynôme

Facile

Énoncé

احسب مشتقة

f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation

Dérivation — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. العدد المشتق

تعريف

التفسير الهندسي

معادلة المماس

II. الدالة المشتقة

III. جدول المشتقات الاعتيادية

IV. قواعد الاشتقاق

V. العلاقة بين المشتقة واتجاه التغير

المبرهنة الأساسية

جدول التغيرات

VI. القيم الحدية

شرط ضروري

معيار عملي

VII. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الاشتقاق

النوع 1: حساب العدد المشتق بواسطة معدل التزايد

النوع 2: الاشتقاق بالصيغ الاعتيادية

النوع 3: اشتقاق جداء أو خارج قسمة

النوع 4: تحديد معادلة المماس

النوع 5: دراسة إشارة المشتقة والتغيرات

النوع 6: تحديد قيمة قصوى (أعظمية / أصغرية)

Dérivation — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Dérivée d'un polynôme

Dérivée d'un produit

Dérivée somme

Dérivée trigonométrique

Nombre dérivé

Dérivée d'un polynôme

Taux de variation d'un coût

Coût marginal

Exercices Intermédiaires

Tangente passant par un point donné

Dérivée et étude de signe

Application : équation de tangente

Étude du sens de variation

Tangente à une courbe

Dérivée d'un quotient

Dérivée d'une racine

Équation de tangente

Sens de variation d'un bénéfice

Recette marginale et optimum

Coût moyen minimal

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Dérivation

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone