I. تذكيرات أساسية

القيم المميزة (يجب حفظها عن ظهر قلب)

العلاقات الأساسية

• ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$
• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ (إذا كان $\cos x\ne 0$)
• $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

II. صيغ الجمع

• $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
• $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
• $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
• $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

III. صيغ المضاعفة

• $\cos (2a)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$
• $\sin (2a)=2\sin a\cos a$
• $\tan (2a)=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$

IV. المعادلات المثلثية الأساسية

المعادلة $\cos x=a$

إذا كان $|a|>1$: لا يوجد حل.

إذا كان $|a|\le 1$: يوجد $\alpha$ بحيث $\cos \alpha =a$. الحلول:

$$x=\alpha +2k\pi \text{ou}x=-\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

المعادلة $\sin x=a$

إذا كان $|a|\le 1$: يوجد $\alpha$ بحيث $\sin \alpha =a$. الحلول:

$$x=\alpha +2k\pi \text{ou}x=\pi -\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

المعادلة $\tan x=a$

الحلول: $x=\alpha +k\pi$، $k\in \mathbb{Z}$ (حيث $\alpha$ يحقق $\tan \alpha =a$).

V. المتراجحات المثلثية

الطريقة: استخدام الدائرة المثلثية لتصور الأقواس الحلول.

مثال: حل $\cos x\ge 1/2$ على $[0,2\pi ]$.
$\cos x=1/2\iff x=\pi /3$ أو $x=-\pi /3+2\pi =5\pi /3$.
على الدائرة، $\cos x\ge 1/2$ يقابل القوس على يمين المحور العمودي عند ارتفاع $1/2$.
الحلول على $[0,2\pi ]$: $x\in [0,\pi /3]\cup [5\pi /3,2\pi ]$.

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$.

الحل: نضع $X=\cos x$. تصبح المعادلة $2X^2-3X+1=0$.
$\Delta =9-8=1$. $X=\frac{3\pm 1}{4}$، إذن $X=1$ أو $X=1/2$.

الحالة $\cos x=1$: $x=2k\pi$، $k\in \mathbb{Z}$.

الحالة $\cos x=1/2$: $x=\pi /3+2k\pi$ أو $x=-\pi /3+2k\pi$.

VII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

1. نسيان "+2k$\pi$" في المعادلات $\cos x=a$ أو $\sin x=a$.
2. الخلط بين $\sin (2a)$ و $2\sin a$.
3. نسيان الشرط $|a|\le 1$ قبل حل $\cos x=a$.
4. القسمة على $\cos x$ دون التحقق من أنه ليس صفراً (فقدان حلول).