Limites de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. النهايات في $+ \infty$ و $- \infty$

نهاية منتهية

تعريف

نقول أن $f$ لها نهاية $ℓ$ في $+ \infty$ ، ونكتب $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ ، إذا كانت $f (x)$ تقترب بقدر ما نريد من $ℓ$ عندما يكون $x$ كبيراً بما فيه الكفاية.

نهاية غير منتهية

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ تعني أن $f (x)$ تصبح كبيرة بشكل تعسفي عندما يكون $x$ كبيراً بما فيه الكفاية.

II. النهايات الاعتيادية التي يجب حفظها

الدالة	النهاية في $+ \infty$	النهاية في $- \infty$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$+ \infty$	$+ \infty$ إذا كان $n$ زوجياً، $- \infty$ إذا كان $n$ فردياً
$\frac{1}{x ^{n}}$	$0$	$0$
$x$	$+ \infty$	غير معرفة

النهاية في نقطة (نهاية منتهية)

$x \to a lim f (x) = ℓ$ : عندما يقترب $x$ من $a$ ، تقترب $f (x)$ من $ℓ$ .

إذا كانت $f$ متصلة في $a$ (الحالة الأكثر شيوعاً)، فإن $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

النهاية في نقطة (نهاية غير منتهية)

$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ و $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ .

III. العمليات على النهايات

لتكن $x \to a lim f = L$ و $x \to a lim g = L^{'}$ .

الجمع: $lim (f + g) = L + L^{'}$ (ما عدا الشكل $+ \infty - \infty$ )
الضرب: $lim (f g) = L \cdot L^{'}$ (ما عدا الشكل $0 \times \infty$ )
القسمة: $lim \frac{f}{g} = \frac{L}{L ^{'}}$ (ما عدا $L^{'} = 0$ أو الشكل $\frac{\infty}{\infty}$ )

IV. الأشكال غير المحددة الأربعة (FI)

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$
$0 \times \infty$

في هذه الحالات الأربع، يجب "رفع حالة عدم التحديد".

V. طريقة رفع حالة عدم التحديد

حالة $\frac{\infty}{\infty}$ (في $\pm \infty$ ، كسر من كثيرات الحدود)

نضع في عامل مشترك في البسط والمقام الحد المهيمن.

مثال: $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 2 x - 1}{x ^{2} - 5} = lim \frac{x ^{2} ( 3 + 2/ x - 1/ x ^{2} )}{x ^{2} ( 1 - 5/ x ^{2} )} = 3$ .

حالة $\frac{0}{0}$ (في نقطة $a$ )

نضع في عامل مشترك في البسط والمقام $(x - a)$ .

مثال: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = lim (x + 2) = 4$ .

حالة $\infty - \infty$

نضع في عامل مشترك الحد المهيمن أو نضرب في المرافق (إذا كانت هناك جذور).

مثال: $x \to + \infty lim (x + 1 - x) = lim \frac{1}{x + 1 + x} = 0$ .

VI. المقاربات

مقارب أفقي

إذا كان $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (منتهية)، فإن $C_{f}$ يقبل مقارباً أفقياً معادلته $y = ℓ$ في $\pm \infty$ .

مقارب عمودي

إذا كان $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ ، فإن $C_{f}$ يقبل مقارباً عمودياً معادلته $x = a$ .

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: لتكن $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4}$ . ادرس نهاياتها عند حدود مجالها وحدد المقاربات.

الحل:

المجال: $D_{f} = R ∖ {- 2, 2}$ .

النهايات في $\pm \infty$ : $x \to \pm \infty lim f (x) = lim \frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} = 2$ . إذن مقارب أفقي $y = 2$ .

النهايات في $\pm 2$ : المقام يؤول إلى 0 والبسط يؤول إلى $2 \times 4 + 1 = 9 \neq = 0$ .
ندرس إشارة $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
$x \to 2^{+} lim f (x) = + \infty$ ، $x \to 2^{-} lim f (x) = - \infty$ ← مقارب عمودي $x = 2$ .
نفس الشيء في $- 2$ ← مقارب عمودي $x = - 2$ .

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

كتابة $\frac{0}{0} = 0$ أو $\frac{\infty}{\infty} = 1$ . هذه أشكال غير محددة، يجب رفعها إلزامياً.
نسيان النهايات من اليمين / من اليسار في نقطة حيث $f$ غير معرفة.
وضع عامل مشترك في البسط فقط في $\frac{\infty}{\infty}$ . يجب وضع عامل مشترك في الاثنين.
الخلط بين المقارب الأفقي والعمودي. أفقي = نهاية منتهية في $\infty$ . عمودي = نهاية غير منتهية في نقطة منتهية.
نسيان إشارة المقام في نهاية "0+" مقابل "0-". الإشارة تحدد $+ \infty$ أو $- \infty$ .

📈 Figure clé

Asymptotes de

\frac{1}{x}

🔑 Formules clés à retenir

النهايات الاعتيادية:

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \geq 1$ )
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$

الأشكال غير المحددة الأربعة: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

الطريقة القياسية:

$\frac{\infty}{\infty}$ (كثيرات حدود) ← وضع عامل مشترك الحد المهيمن
$\frac{0}{0}$ (في $a$ ) ← وضع عامل مشترك $(x - a)$
$\infty - \infty$ مع جذور ← المرافق

المقاربات:

$y = ℓ$ إذا كان $lim f = ℓ$ في $\pm \infty$
$x = a$ إذا كان $lim f = \pm \infty$ في $a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 في $\pm \infty$ ، كثير الحدود يتصرف مثل حده ذي الدرجة الأعلى. الكسر الجذري مثل نسبة الحدود المهيمنة.
🎯 عندما ترى $\frac{0}{0}$ وهناك جذر، فكر بشكل منهجي في المرافق.
🎯 للنهايات في نقطة $a$ حيث المقام ينعدم: ادرس إشارة المقام بالقرب من $a$ لتقرر بين $+ \infty$ و $- \infty$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — نهايات الدوال

النوع 1 : حساب نهاية بالتعويض المباشر

متى؟ الدالة متصلة عند القيمة المستهدفة (كثير حدود، كسر مقامه لا ينعدم، جذر، إلخ.) والتعويض يعطي عددا حقيقيا.

عوّض $x$ بالقيمة $a$ في العبارة.
إذا كانت النتيجة عددا حقيقيا محددا جيدا، فهي النهاية: لا توجد صيغة غير محددة.
استنتج $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

مثال سريع: $x \to 2 lim (x^{2} + 3 x - 1) = 4 + 6 - 1 = 9$ .

النوع 2 : نهاية كثير حدود أو كسر نسبي عند اللانهاية

متى؟ $x \to + \infty$ أو $x \to - \infty$ ونحصل على صيغة غير محددة من النوع $\frac{\infty}{\infty}$ أو $\infty - \infty$ .

بالنسبة لكثير حدود: النهاية هي نهاية الحد ذي الدرجة الأعلى.
بالنسبة لكسر نسبي: النهاية هي نهاية خارج قسمة الحدود ذات الدرجة الأعلى في البسط والمقام.
بسّط هذا الخارج ثم احسب النهاية.

مثال سريع: $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - x}{3 x ^{2} + 5} = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2}}{3 x ^{2}} = \frac{2}{3}$ .

النوع 3 : نهاية تتضمن قسمة على صفر (خط تقارب رأسي)

متى؟ المقام يؤول إلى $0$ والبسط يؤول إلى عدد حقيقي غير معدوم: النهاية هي $+ \infty$ أو $- \infty$ .

حدد إشارة البسط بالقرب من $a$ (غالبا عدد حقيقي غير معدوم ثابت).
ادرس إشارة المقام من اليسار ( $x \to a^{-}$ ) ثم من اليمين ( $x \to a^{+}$ ) باستخدام جدول إشارات.
طبّق قاعدة إشارات القسمة لتستنتج $+ \infty$ أو $- \infty$ من كل جهة.

مثال سريع: $x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty$ لأن $x - 1 > 0$ ؛ $x \to 1^{-} lim \frac{1}{x - 1} = - \infty$ .

النوع 4 : رفع الصيغة غير المحددة $\frac{0}{0}$ بالتحليل إلى جداء

متى؟ كسر نسبي يعطي $\frac{0}{0}$ عند $x = a$ : إذن $a$ جذر للبسط والمقام.

حلل البسط والمقام بإخراج $(x - a)$ عاملا مشتركا.
بسّط العامل المشترك $(x - a)$ .
عوّض $x$ بـ $a$ في العبارة المبسطة واستنتج.

مثال سريع: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

النوع 5 : رفع صيغة غير محددة مع جذر تربيعي (المرافق)

متى؟ النهاية تحتوي على وتعطي $\frac{0}{0}$ أو $\infty - \infty$ .

اضرب البسط والمقام في المرافق (نغير الإشارة بين الحدين).
استخدم المتطابقة $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ لإزالة الجذر.
بسّط ثم احسب النهاية.

مثال سريع: $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{1}{2}$ .

النوع 6 : النهايات الاعتيادية المثلثية

متى؟ النهاية تتضمن $sin$ ، $tan$ ، $cos$ بالقرب من $0$ وتعطي صيغة غير محددة $\frac{0}{0}$ .

احفظ النهايات المرجعية: $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ ، $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$ ، $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ .
اكتب العبارة على الشكل $\frac{sin ( □ )}{□}$ بالضرب/القسمة على العامل المناسب.
طبّق النهاية الاعتيادية واستنتج.

مثال سريع: $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = x \to 0 lim 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x} = 3$ .

النوع 7 : تحديد خطوط التقارب لمنحنى

متى؟ يُطلب خطوط التقارب (رأسية، أفقية، مائلة) انطلاقا من النهايات.

رأسي $x = a$ : إذا كان $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ .
أفقي $y = ℓ$ : إذا كان $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (عدد حقيقي).
مائل $y = a x + b$ : إذا كان $x \to \pm \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$ (مع $a = lim \frac{f ( x )}{x}$ و $b = lim [f (x) - a x]$ ).

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ : $x \to 3 lim f = \pm \infty$ يعطي خط التقارب الرأسي $x = 3$ ؛ $x \to + \infty lim f = 2$ يعطي خط التقارب الأفقي $y = 2$ .

Limites de fonctions — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

6 exercices

Limite en +∞ d'un quotient de polynômes

Facile

Énoncé

احسب

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 5 x + 1}{x ^{2} + 2}

Ma réponse

Limites de fonctions

Limites de fonctions — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. النهايات في +∞ و −∞

نهاية منتهية

تعريف

نهاية غير منتهية

II. النهايات الاعتيادية التي يجب حفظها

النهاية في نقطة (نهاية منتهية)

النهاية في نقطة (نهاية غير منتهية)

III. العمليات على النهايات

IV. الأشكال غير المحددة الأربعة (FI)

V. طريقة رفع حالة عدم التحديد

حالة ∞∞​ (في ±∞، كسر من كثيرات الحدود)

حالة 00​ (في نقطة a)

حالة ∞−∞

VI. المقاربات

مقارب أفقي

مقارب عمودي

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — نهايات الدوال

النوع 1 : حساب نهاية بالتعويض المباشر

النوع 2 : نهاية كثير حدود أو كسر نسبي عند اللانهاية

النوع 3 : نهاية تتضمن قسمة على صفر (خط تقارب رأسي)

النوع 4 : رفع الصيغة غير المحددة 00​ بالتحليل إلى جداء

النوع 5 : رفع صيغة غير محددة مع جذر تربيعي (المرافق)

النوع 6 : النهايات الاعتيادية المثلثية

النوع 7 : تحديد خطوط التقارب لمنحنى

Limites de fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Limite en +∞ d'un quotient de polynômes

Limite à droite vs à gauche

Limite d'une fraction simple

Limite par règle des polynômes

Limite en un point fini

Limite polynomiale en l'infini

Exercices Intermédiaires

Limite avec factorisation

Asymptote horizontale

Limite avec racine

Limite trigonométrique en 0

Forme indéterminée 0/0

Limite avec conjugué

Limite trigonométrique

Limite par encadrement

Exercices Difficiles

Théorème des gendarmes

Asymptotes et étude de signe

Quantité conjuguée

Asymptote oblique

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Limites de fonctions

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

I. النهايات في $+ \infty$ و $- \infty$

حالة $\frac{\infty}{\infty}$ (في $\pm \infty$ ، كسر من كثيرات الحدود)

حالة $\frac{0}{0}$ (في نقطة $a$ )

حالة $\infty - \infty$

النوع 4 : رفع الصيغة غير المحددة $\frac{0}{0}$ بالتحليل إلى جداء