كم تمرينًا مصحّحًا في درس «الاشتقاق» ؟

يتوفّر 50 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «الاشتقاق» في 1ère Bac Sciences Exp. ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «الاشتقاق» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ1ère Bac Sciences Exp. بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Dérivation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. العدد المشتق

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $I$ يحتوي على $a$ . نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

تسمى هذه النهاية العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ .

بطريقة مكافئة، بوضع $h = x - a$ :

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

التفسير الهندسي

$f^{'} (a)$ هو معامل التوجيه للمماس للمنحنى $C_{f}$ عند النقطة ذات الفاصلة $a$ .

معادلة المماس

$T_{a} : y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

II. الدالة المشتقة

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في كل نقطة من مجال $I$ ، فإن الدالة التي تربط كل $x \in I$ بـ $f^{'} (x)$ تسمى الدالة المشتقة لـ $f$ ، ويرمز لها بـ $f^{'}$ .

III. جدول المشتقات الاعتيادية

الدالة $f (x)$	المشتقة $f^{'} (x)$	مجال القابلية للاشتقاق
$k$ (ثابت)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$
$sin x$	$cos x$	$R$
$cos x$	$- sin x$	$R$
$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$	$R ∖ {π /2 + k π}$

IV. قواعد الاشتقاق

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على $I$ ، و $k$ ثابت.

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
$(k u)^{'} = k u^{'}$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (إذا كان $v \neq = 0$ )
$(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n \cdot u^{n - 1} \cdot u^{'}$ (دالة أسية مركبة)
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (إذا كان $u > 0$ )

V. العلاقة بين المشتقة واتجاه التغير

المبرهنة الأساسية

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ :

إذا كان $f^{'} (x) > 0$ على $I$ (باستثناء عدد منته من النقط)، فإن $f$ متزايدة تماما على $I$ .
إذا كان $f^{'} (x) < 0$ على $I$ (باستثناء عدد منته من النقط)، فإن $f$ متناقصة تماما على $I$ .
إذا كان $f^{'} (x) = 0$ على $I$ ، فإن $f$ ثابتة على $I$ .

جدول التغيرات

لدراسة تغيرات $f$ :

تحديد المجموعة $D_{f}$ .
حساب $f^{'} (x)$ .
دراسة إشارة $f^{'} (x)$ .
إنشاء جدول التغيرات.

VI. القيم الحدية

شرط ضروري

إذا كانت $f$ تقبل قيمة حدية محلية في $x_{0}$ (نقطة داخلية للمجال) وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $x_{0}$ ، فإن $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

تنبيه: العكس خاطئ. $f^{'} (x_{0}) = 0$ لا يعني بالضرورة قيمة حدية (مثال: $f (x) = x^{3}$ في $x = 0$ ).

معيار عملي

تقبل $f$ قيمة حدية في $x_{0}$ إذا غيرت $f^{'}$ إشارتها في $x_{0}$ :

$f^{'}$ تنتقل من موجب إلى سالب ← قيمة عظمى
$f^{'}$ تنتقل من سالب إلى موجب ← قيمة صغرى

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

نص التمرين: لتكن $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ .
1) احسب $f^{'} (x)$ وادرس إشارتها.
2) أنشئ جدول تغيرات $f$ .
3) حدد معادلة المماس لـ $C_{f}$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$ .

الحل:

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ .
$f^{'} (x) > 0$ على $] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$ ، $f^{'} (x) < 0$ على $] - 1, 1 [$ .

2) الجدول:
- $f$ متزايدة على $] - \infty, - 1]$
- $f$ متناقصة على $[- 1, 1]$
- $f$ متزايدة على $[1, + \infty [$
قيمة عظمى محلية في $- 1$ : $f (- 1) = - 1 + 3 + 2 = 4$ .
قيمة صغرى محلية في $1$ : $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

3) $f (1) = 0$ و $f^{'} (1) = 0$ . المماس: $y = 0 (x - 1) + 0 = 0$ . إنه محور الفواصل.

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين $(uv)^{'}$ و $u^{'} v^{'}$ . القاعدة الصحيحة: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
الخلط بين $(\frac{u}{v})^{'}$ و $\frac{u ^{'}}{v ^{'}}$ . القاعدة الصحيحة: $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
نسيان $u^{'}$ في مشتقة دالة مركبة $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ (وليس فقط $n u^{n - 1}$ ).
الاعتقاد أن $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇒ قيمة حدية. خاطئ. يجب أن يكون هناك تغيير في إشارة $f^{'}$ .
نسيان مجال القابلية للاشتقاق. مثلا $x$ غير قابلة للاشتقاق في 0.
الخلط بين الرتابة التامة والرتابة. تامة: $f^{'} (x) > 0$ . واسعة: $f^{'} (x) \geq 0$ .

📈 Figure clé

Tangente à la courbe

🔑 Formules clés à retenir

العدد المشتق:

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

المماس في $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

المشتقات الاعتيادية:

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(sin x)^{'} = cos x$ ، $(cos x)^{'} = - sin x$

القواعد:

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$

التغير: إشارة $f^{'}$

القيمة الحدية: تغيير إشارة $f^{'}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 قبل الاشتقاق، بسط التعبير إن أمكن (وضع عامل مشترك، متطابقة هامة). هذا يتجنب حسابات ثقيلة.
🎯 لدراسة إشارة $f^{'} (x)$ التي تحتوي على تعبير معقد: ضع $f^{'} (x) = 0$ وحل، ثم أنشئ جدول الإشارات.
🎯 لا تنس أبدا $u^{'}$ في الدوال المركبة. إنه الخطأ رقم 1 في هذا الفصل.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاشتقاق

النوع 1: حساب العدد المشتق بواسطة معدل التزايد

متى؟ عندما يُطلب $f^{'} (a)$ بالتعريف (بدون صيغ) أو إثبات أن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ .

اكتب معدل التزايد $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ (أو $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ ).
بسّط التعبير (تحليل، مرافق) لرفع الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$ .
احسب $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ : هذه النهاية، إن وُجدت، تساوي $f^{'} (a)$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = x^{2}$ عند $a = 3$ : $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3 \to 6$ ، إذن $f^{'} (3) = 6$ .

النوع 2: الاشتقاق باستخدام الصيغ المعتادة

متى؟ عندما يُطلب الدالة المشتقة $f^{'}$ لتعبير مبني من دوال مرجعية.

حدد البنية: مجموع، جداء، خارج قسمة، قوة، جذر.
طبّق المشتقات المعتادة: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ، $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ ، $(sin x)^{'} = cos x$ ، $(cos x)^{'} = - sin x$ .
ادمج مع القواعد: $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ ، $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ، $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .

مثال سريع: $f (x) = x^{3} - 2 x$ تعطي $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ .

النوع 3: اشتقاق دالة مركبة

متى؟ التعبير يحتوي على دالة "داخل" أخرى: $u$ ، $u^{n}$ ، $sin (u)$ ، $\frac{1}{u}$ .

حدد الدالة الداخلية $u (x)$ واحسب $u^{'} (x)$ .
طبّق صيغة الاشتقاق المركب: $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ ، $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ ، $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ .
عوّض وبسّط.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} + 1$ : $u = x^{2} + 1$ ، $u^{'} = 2 x$ ، إذن $f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

النوع 4: معادلة المماس عند نقطة

متى؟ عندما يُطلب معادلة المماس $(T)$ للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة $a$ .

احسب $f (a)$ (إحداثية نقطة التماس).
احسب $f^{'} (a)$ (معامل التوجيه للمماس).
اكتب $(T) : y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ ثم انشر.

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ عند $a = 1$ : $f (1) = 1$ ، $f^{'} (1) = 2$ ، إذن $(T) : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

النوع 5: دراسة إشارة المشتقة والتغيرات

متى؟ نريد اتجاه تغير $f$ أو جدول تغيراتها.

احسب $f^{'} (x)$ وحدد مجموعة تعريفها.
حل $f^{'} (x) = 0$ ثم ادرس إشارة $f^{'} (x)$ (جدول الإشارات).
استنتج: $f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f$ متزايدة؛ $f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f$ متناقصة. أنشئ جدول التغيرات.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} - 4 x$ ، $f^{'} (x) = 2 x - 4$ : $f^{'} (x) < 0$ لـ $x < 2$ (متناقصة) و $f^{'} (x) > 0$ لـ $x > 2$ (متزايدة).

النوع 6: تحديد القيم الحدية لدالة

متى؟ نبحث عن قيمة عظمى أو صغرى محلية لـ $f$ .

احسب $f^{'} (x)$ وحل $f^{'} (x) = 0$ : الحلول هي الفواصل المرشحة.
ادرس إشارة $f^{'}$ حول كل مرشح.
إذا تغيرت $f^{'}$ من $+$ إلى $-$ : قيمة عظمى؛ من $-$ إلى $+$ : قيمة صغرى. احسب القيمة $f (a)$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = x^{2} - 4 x$ ، $f^{'}$ تنعدم عند $x = 2$ وتنتقل من $-$ إلى $+$ : قيمة صغرى $f (2) = - 4$ .

النوع 7: القابلية للاشتقاق والمماسات النصفية عند نقطة خاصة

متى؟ ندرس القابلية للاشتقاق عند نقطة تتغير فيها شكل الدالة (قيمة مطلقة، جذر، دالة معرفة بالقطع).

احسب نهاية معدل التزايد من اليسار : $f_{g}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ .
احسب النهاية من اليمين : $f_{d}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ .
إذا كان $f_{g}^{'} (a) = f_{d}^{'} (a)$ : قابلة للاشتقاق. وإلا: غير قابلة للاشتقاق، ويوجد مماسان نصفيان (نقطة زاوية).

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = ∣ x ∣$ عند $0$ : $f_{g}^{'} (0) = - 1$ و $f_{d}^{'} (0) = 1$ ؛ بما أن $- 1 \neq = 1$ ، $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $0$ .

Dérivation — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

18 exercices

مشتقة 3x³ - 2x² + 5x - 7

Facile

Énoncé

احسب مشتقة

f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation

Dérivation — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. العدد المشتق

تعريف

التفسير الهندسي

معادلة المماس

II. الدالة المشتقة

III. جدول المشتقات الاعتيادية

IV. قواعد الاشتقاق

V. العلاقة بين المشتقة واتجاه التغير

المبرهنة الأساسية

جدول التغيرات

VI. القيم الحدية

شرط ضروري

معيار عملي

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الاشتقاق

النوع 1: حساب العدد المشتق بواسطة معدل التزايد

النوع 2: الاشتقاق باستخدام الصيغ المعتادة

النوع 3: اشتقاق دالة مركبة

النوع 4: معادلة المماس عند نقطة

النوع 5: دراسة إشارة المشتقة والتغيرات

النوع 6: تحديد القيم الحدية لدالة

النوع 7: القابلية للاشتقاق والمماسات النصفية عند نقطة خاصة

Dérivation — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

مشتقة 3x³ - 2x² + 5x - 7

حساب مباشر لمشتقة (2x+1)(x²-3)

Dérivée somme

Dérivée trigonométrique

Nombre dérivé

مشتقة 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7

مشتقات الدوال الاعتيادية

مماس منحنى x²-x+2 عند الفاصلة 1

العدد المشتق بواسطة التعريف

العدد المشتق بالتعريف

العدد المشتق بواسطة معدل التغير

مشتقة دالة كثيرة الحدود

اشتقاق حدودية (مجموع)

مشتقة 2x³ - 5x² + 4x - 7

مشتقة دالة ناطقة بسيطة

معادلة مماس

مشتقة خارج قسمة بسيط

مماس منحنى x²+1 عند الفاصلة 1

Exercices Intermédiaires

Tangente passant par un point donné

Dérivée et étude de signe

Application : équation de tangente

Étude du sens de variation

Tangente à une courbe

مشتقة (2x-1)/(x²+1)

Dérivée d'une racine

Équation de tangente

مماس موازٍ لمستقيم معطى

دالة تتضمن جذرا تربيعيا: المجال، المشتقة والمماس

اتجاه التغير وجدول التغيرات

إشارة المشتقة واتجاه تغير (3x-2)/(x+1)

القيمة الحدية المحلية لدالة من الدرجة الثانية

مشتقة دالة مركّبة

مشتقة (2x-1)(x²+3) ثم التحقق

اتجاه التغير وجدول التغيرات (دالة من الدرجة الثالثة)

قاعدة مشتقة الجداء على (2x-1)(x²+3) مع التحقق

دراسة القابلية للاشتقاق عند نقطة (نقطة زاوية)

جدول التغيرات

مشتقة مع دالة مثلثية

الاشتقاق مع الجذر المربع

Exercices Difficiles

Application : optimisation

Optimisation : aire maximale

Sens de variation et extremum

نقط منحنى x²-4x+5 التي مماسها يوازي y=2x-1

دراسة الاشتقاق عند نقطة